宽带信号的DOA估计学习笔记（四）：空间分辨率

时域/频域傅里叶限制

指的是傅里叶变换的积分区间不是[−∞,+∞][-\infty,+\infty][−∞,+∞]，而是[−t,+t]/[−ω,+ω][-t,+t]/[-\omega,+\omega][−t,+t]/[−ω,+ω]

空域傅里叶限

阵列的物理孔径限，线阵就是阵列长度，面阵就是阵列（长*宽中的长，圆阵中的直径）。

提高空域处理精度的办法：增加阵列的物理孔径（等效于减小波束），也就是增加天线个数，摆的更长。但是成本高/不总是可操作的（地方受限）。

公式说明

当信号为单个复正弦信号时，参考点接收信号为
s0(t)=A0exp(jω0t)s_0(t)=A_0exp(j\omega_0t)s0(t)=A0exp(jω0t)
阵列天线数据矢量x(t′)=aθ0s0(t′)\mathbf{x}{(t')}=\mathbf{a}_{\theta_0}s_0(t')x(t′)=aθ0s0(t′)
其中aθ0=[1exp(jωθ0)⋮exp(jωθ0(M−1))]\mathbf{a}_{\theta_0}=\\ \left[ \begin{matrix} 1\\ exp(j\omega_{\theta_0})\\ \vdots\\ exp(j\omega_{\theta_0}(M-1))\\ \end{matrix} \right] aθ0=⎣⎢⎢⎢⎡1exp(jωθ0)⋮exp(jωθ0(M−1))⎦⎥⎥⎥⎤为导向矢量
空间角频率为
ωθ0=2πfθ0=2πdsin⁡θ0λ0\omega_{\theta_0}=2\pi f_{\theta_0}=2\pi \frac{d\sin_{\theta_0}}{\lambda_0}ωθ0=2πfθ0=2πλ0dsinθ0
对快拍数据矢量进行空间傅里叶变换为
X(ωθ0)=∑n=0M−1xn(t′)exp(−jnωθ)=∑n=0M−1s0(t′)exp(jnωθ0)exp(−jnωθ)=s0(t′)∑n=0M−1exp[−jn(ωθ−ωθ0)]=s0(t′)∑n=0M−1rn=s0(t′)1−rM1−r=s0(t′)1−exp[−jM(ωθ−ωθ0)]1−exp[−j(ωθ−ωθ0)]=s0(t′)exp[−jM(ωθ−ωθ0)/2]exp[−j(ωθ−ωθ0)/2]⋅exp[jM(ωθ−ωθ0)/2]−exp[−jM(ωθ−ωθ0)/2]exp[j(ωθ−ωθ0)/2]−exp[−j(ωθ−ωθ0)/2]=A0exp[−jM(ωθ−ωθ0)/2]exp[−j(ωθ−ωθ0)/2]⋅sin⁡[M(ωθ−ωθ0/2)]sin⁡[(ωθ−ωθ0/2)]\begin{aligned}\\ \mathbf{X}({\omega_{\theta_0}})& =\sum_{n=0}^{M-1}x_n(t')exp(-jn\omega_{\theta})\\ & =\sum_{n=0}^{M-1}s_0(t')exp(jn\omega_{\theta_0})exp(-jn{\omega_{\theta}})\\ & =s_0(t')\sum_{n=0}^{M-1}exp[-jn(\omega_{\theta}-\omega_{\theta_0})] & =s_0(t')\sum_{n=0}^{M-1} {r^n}\\ & =s_0(t')\frac{1-r^M}{1-r}\\ & =s_0(t')\frac{1-exp[-jM(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})]}{1-exp[-j(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})]}\\ & =s_0(t')\frac{exp[-jM(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})/2]}{exp[-j(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})/2]}\centerdot \frac{exp[jM(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})/2]-exp[-jM(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})/2]}{exp[j(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})/2]-exp[-j(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})/2]}\\ & =A_0\frac{exp[-jM(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})/2]}{exp[-j(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})/2]}\centerdot \frac{\sin[M(\omega_\theta-\omega_{\theta_0}/2)]}{\sin[(\omega_\theta-\omega_{\theta_0}/2)]} \end{aligned} X(ωθ0)=n=0∑M−1xn(t′)exp(−jnωθ)=n=0∑M−1s0(t′)exp(jnωθ0)exp(−jnωθ)=s0(t′)n=0∑M−1exp[−jn(ωθ−ωθ0)]=s0(t′)1−r1−rM=s0(t′)1−exp[−j(ωθ−ωθ0)]1−exp[−jM(ωθ−ωθ0)]=s0(t′)exp[−j(ωθ−ωθ0)/2]exp[−jM(ωθ−ωθ0)/2]⋅exp[j(ωθ−ωθ0)/2]−exp[−j(ωθ−ωθ0)/2]exp[jM(ωθ−ωθ0)/2]−exp[−jM(ωθ−ωθ0)/2]=A0exp[−j(ωθ−ωθ0)/2]exp[−jM(ωθ−ωθ0)/2]⋅sin[(ωθ−ωθ0/2)]sin[M(ωθ−ωθ0/2)]=s0(t′)n=0∑M−1rn
其中∣X(ωθ)∣=A0∣sin⁡[M(ωθ−ωθ0/2)]∣∣sin⁡[(ωθ−ωθ0/2)]∣|\mathbf{X}(\omega_\theta)|=A_0\frac{|\sin[M(\omega_\theta-\omega_{\theta_0}/2)]|}{|\sin[(\omega_\theta-\omega_{\theta_0}/2)]|}∣X(ωθ)∣=A0∣sin[(ωθ−ωθ0/2)]∣∣sin[M(ωθ−ωθ0/2)]∣
可以看出当ωθ−ωθ0=0\omega_\theta-\omega_{\theta_0}=0ωθ−ωθ0=0时，出现峰值。
零点出现在M(ωθ−ωθ0)2=nπ(n=1,2,⋯ )\frac{M(\omega_\theta-\omega_{\theta_0})}{2}=n\pi \quad(n=1,2,\cdots)2M(ωθ−ωθ0)=nπ(n=1,2,⋯)
第一个零点出现在ωθ−ωθ0=4πM\omega_\theta-\omega_{\theta_0}=\frac{4\pi}{M}ωθ−ωθ0=M4π
可得
δωθ=δ(2πdsin⁡θλ)=2πdcos⁡θλδθ=4πM\delta\omega_\theta=\delta(2\pi\frac{d\sin_{\theta}}{\lambda})=2\pi\frac{d\cos_\theta}{\lambda}\delta\theta= \frac{4\pi}{M}δωθ=δ(2πλdsinθ)=2πλdcosθδθ=M4π
即

δθ=λMdcos⁡θ\delta\theta=\frac{\lambda}{Md\cos\theta}δθ=Mdcosθλ
可见，分母越大，δθ\delta\thetaδθ越小，即空间分辨率越强。有两种情况使得分母小。

天线阵越长，即MdMdMd越大，分辨率越高

方法靠近法线，即cos⁡θ⟶1\cos\theta\longrightarrow1cosθ⟶1，当θ=0°\theta=0\degreeθ=0°，即入射方向垂直于阵列时，分辨率最高，偏离天线轴线越大分辨力越差。

理论角度分辨率也可由此得到