十进制与二进制转换之相互算法
十进制转二进制：

用2辗转相除至结果为1
将余数和最后的1从下向上倒序写 就是结果

例如302

302/2 = 151 余0

151/2 = 75 余1

75/2 = 37 余1

37/2 = 18 余1

18/2 = 9 余0

9/2 = 4 余1

4/2 = 2 余0

2/2 = 1 余0
故二进制为100101110

二进制转十进制
从最后一位开始算，依次列为第0、1、2...位
第n位的数（0或1）乘以2的n次方
得到的结果相加就是答案

例如:01101011.转十进制:
第0位:1乘2的0次方=1
1乘2的1次方=2
0乘2的2次方＝0
1乘2的3次方＝8
0乘2的4次方＝0
1乘2的5次方＝32
1乘2的6次方＝64
0乘2的7次方＝0
然后：1＋2＋0
＋8＋0＋32＋64＋0＝107．
二进制01101011＝十进制107．

一、二进制数转换成十进制数

由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。

二、十进制数转换为二进制数

十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。

1. 十进制整数转换为二进制整数

十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

2．十进制小数转换为二进制小数

十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。

然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

1．二进制与十进制的转换

（1）二进制转十进制<BR>方法："按权展开求和"

例：

（1011.01）2 ＝（1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2）10

＝（8＋0＋2＋1＋0＋0.25）10

＝（11.25）10

（2）十进制转二进制

· 十进制整数转二进制数："除以2取余，逆序输出"

例： （89）10＝（1011001）2

2 89

2 44 …… 1

2 22 …… 0

2 11 …… 0

2 5 …… 1

2 2 …… 1

2 1 …… 0

0 …… 1

· 十进制小数转二进制数："乘以2取整，顺序输出"

例：

(0．625)10= (0．101)2

0．625

X 2

1．25

X 2

0．5

X 2

1．0

2．八进制与二进制的转换

例：将八进制的37.416转换成二进制数：

37 ． 4 1 6

011 111 ．100 001 110

即：（37.416）8 ＝（11111.10000111）2

例：将二进制的10110.0011 转换成八进制：

0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0

2 6 . 1 4

即：（10110.011）2 ＝（26.14）8

3．十六进制与二进制的转换<BR>例：将十六进制数5DF.9 转换成二进制：

5 D F ． 9

0101 1101 1111．1001

即：（5DF.9）16 ＝（10111011111.1001）2

例：将二进制数1100001.111 转换成十六进制：

0110 0001 ． 1110

6 1 ． E

即：（1100001.111）2 ＝（61.E）16

★★★★★★★★★★★
给定一个十进制正整数n，分别设计一个迭代和递归的算法吧正整数n转换成二进制，并分析算法的时间复杂性。

迭代算法：

for(n;n>0;n/=2)

{

b[i]=n%2;

i++;

}

for(i;i>=0;i--)

{

cout<<b[i];

}

以上为在C++中经调试验证的程序段。

分析：上程序段中for循环的次数由a决定，对a的计算过程做逆运算，即20 ，21 ，22……2n=a,所以for循环中计算的次数为log2(n),在输出程序段中，输出的次数也与计算算法中的次数相同。所以本迭代算法的时间复杂度为2log (n ),即

O(n)=log(n)

递归算法：

binary1(int n,int c)

{

if(n=0)

return n;

else

{  b[i]=c;

i++;

return binary1(n/2,n%2);

}

}

分析：此递归算法由上迭代算法演变而来，不做赘述。本算法的时间复杂度为：

O(n)=log(n)

4-5 给定两个十进制正整数m和n，分别设计一个迭代和递归的算法计算m和n的最大公约数，并分析算法的时间复杂性。

迭代算法：

while(m!=0)

{

a=m;

m=n%m;

n=a;

}

cout<<n;

分析：上程序段中的最坏情况下的时间，假定m>n>=0，如果实际情况是n>m，那么在执行第一次循环后，m和n将会对换位置，如果其中一个等于0，那么只循环一次，两个变量相等，那么循环也是只执行一次，Leme定理，对于任意整数，如果m>n>=1,且m<斐波那契数的第k+1个数，那么本循环的执行次数少于k次。所以，本算法的最坏时间复杂度为：

log(n)

递归算法：

EDCLID(m,n)

{

if(n=0)

return m;

else

return EUCLID(n,m%n)

分析：上递归算法由本迭代算法演变而来，不做赘述。本算法的时间复杂度为：

log(n)