视频讲解：23考研李林880第九章曲线积分与曲面积分综合题3-21

题目

设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在x2+y2≤1x^2+y^2\leq1x2+y2≤1上有一阶连续偏导数，且在边界上取值为零，证明：
lim⁡t→0+−12π∬Dxfx′(x,y)+yfy′(x,y)x2+y2dxdy=f(0,0)\underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{-1}{2\pi}\iint\limits_D{\frac{xf_x'\left( x,y \right) +yf_y'\left( x,y \right)}{x^2+y^2}dxdy}=f\left( 0,0 \right) t→0+lim2π−1D∬x2+y2xfx′(x,y)+yfy′(x,y)dxdy=f(0,0)
其中D:t2≤x2+y2≤1,t>0D: t^2\leq x^2+y^2\leq 1, t>0D:t2≤x2+y2≤1,t>0

解答

对二重积分做极坐标代换
∬Dxfx′(x,y)+yfy′(x,y)x2+y2dxdy=∫02πdθ∫t1rcos⁡θ⋅fx′(x,y)+rsin⁡θ⋅fy′(x,y)r2rdr=∫02πdθ∫t1[cos⁡θ⋅fx′(x,y)+sin⁡θ⋅fy′(x,y)]dr=∫02πdθ∫t1[fx′(x,y)⋅cos⁡θ+fy′(x,y)⋅sin⁡θ]dr\begin{aligned} \iint\limits_D{\frac{xf_x'\left( x,y \right) +yf_y'\left( x,y \right)}{x^2+y^2}dxdy}&=\int_0^{2\pi}{d\theta}\int_t^1{\frac{r\cos \theta \cdot f_x'\left( x,y \right) +r\sin \theta \cdot f_y'\left( x,y \right)}{r^2}rdr} \\ &=\int_0^{2\pi}{d\theta}\int_t^1{\left[ \cos \theta \cdot f_x'\left( x,y \right) +\sin \theta \cdot f_y'\left( x,y \right) \right] dr} \\ &=\int_0^{2\pi}{d\theta}\int_t^1{\left[ f_x'\left( x,y \right) \cdot \cos \theta + f_y'\left( x,y \right) \cdot \sin \theta \right ] dr} \end{aligned} D∬x2+y2xfx′(x,y)+yfy′(x,y)dxdy=∫02πdθ∫t1r2rcosθ⋅fx′(x,y)+rsinθ⋅fy′(x,y)rdr=∫02πdθ∫t1[cosθ⋅fx′(x,y)+sinθ⋅fy′(x,y)]dr=∫02πdθ∫t1[fx′(x,y)⋅cosθ+fy′(x,y)⋅sinθ]dr
其中
fx′(x,y)⋅cos⁡θ=∂f∂x⋅∂x∂rf_x'\left( x,y \right) \cdot \cos \theta =\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial r} fx′(x,y)⋅cosθ=∂x∂f⋅∂r∂x
fy′(x,y)⋅sin⁡θ=∂f∂y⋅∂y∂rf_y'\left( x,y \right) \cdot \sin \theta =\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial r} fy′(x,y)⋅sinθ=∂y∂f⋅∂r∂y
∴fx′(x,y)⋅cos⁡θ+fy′(x,y)⋅sin⁡θ=∂f∂x⋅∂x∂r+∂f∂y⋅∂y∂r\therefore f_x'\left( x,y \right) \cdot \cos \theta +f_y'\left( x,y \right) \cdot \sin \theta =\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial r} ∴fx′(x,y)⋅cosθ+fy′(x,y)⋅sinθ=∂x∂f⋅∂r∂x+∂y∂f⋅∂r∂y
根据复合函数求导法则，我们知道
∂f∂r=∂f∂x⋅∂x∂r+∂f∂y⋅∂y∂r\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial r} ∂r∂f=∂x∂f⋅∂r∂x+∂y∂f⋅∂r∂y
我们这里其实就是将复合函数求导法则反过来用
∴∫t1[cos⁡θ⋅fx′(x,y)+sin⁡θ⋅fy′(x,y)]dr=∫t1fr′(rcos⁡θ,rsin⁡θ)dr=f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)∣t1=f(cos⁡θ,sin⁡θ)−f(tcos⁡θ,tsin⁡θ)\begin{aligned} \therefore \int_t^1{\left[ \cos \theta \cdot f_x'\left( x,y \right) +\sin \theta \cdot f_y'\left( x,y \right) \right] dr}&=\int_t^1{f_r'\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) dr} \\ &=f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \mid_{t}^{1} \\ &=f\left( \cos \theta ,\sin \theta \right) -f\left( t\cos \theta ,t\sin \theta \right) \end{aligned} ∴∫t1[cosθ⋅fx′(x,y)+sinθ⋅fy′(x,y)]dr=∫t1fr′(rcosθ,rsinθ)dr=f(rcosθ,rsinθ)∣t1=f(cosθ,sinθ)−f(tcosθ,tsinθ)
f(x,y)f(x,y)f(x,y)在x2+y2≤1x^2+y^2\leq1x2+y2≤1边界上取值为零
所以f(cosθ,sinθ)=0f(cos\theta , sin\theta)=0f(cosθ,sinθ)=0
∴∫t1[cos⁡θ⋅fx′(x,y)+sin⁡θ⋅fy′(x,y)]dr=−f(tcos⁡θ,tsin⁡θ)\therefore \int_t^1{\left[ \cos \theta \cdot f_x'\left( x,y \right) +\sin \theta \cdot f_y'\left( x,y \right) \right] dr}=-f\left( t\cos \theta ,t\sin \theta \right) ∴∫t1[cosθ⋅fx′(x,y)+sinθ⋅fy′(x,y)]dr=−f(tcosθ,tsinθ)
∴∬Dxfx′(x,y)+yfy′(x,y)x2+y2dxdy=−∫02πf(tcos⁡θ,tsin⁡θ)dθ\therefore \iint\limits_D{\frac{xf_x'\left( x,y \right) +yf_y'\left( x,y \right)}{x^2+y^2}dxdy}=-\int_0^{2\pi}{f\left( t\cos \theta ,t\sin \theta \right) d\theta} ∴D∬x2+y2xfx′(x,y)+yfy′(x,y)dxdy=−∫02πf(tcosθ,tsinθ)dθ
因为f(x,y)f(x,y)f(x,y)在x2+y2≤1x^2+y^2\leq1x2+y2≤1上有一阶连续偏导数，所以f(x,y)f(x,y)f(x,y)在该区域上连续
由积分中值定理可得
∫02πf(tcos⁡θ,tsin⁡θ)dθ=f(tcos⁡ξ,tsin⁡ξ)⋅2π其中ξ∈(0,2π)\int_0^{2\pi}{f\left( t\cos \theta ,t\sin \theta \right) d\theta}=f\left( t\cos \xi ,t\sin \xi \right) \cdot 2\pi \ \text{其中}\xi \in \left( 0,2\pi \right) ∫02πf(tcosθ,tsinθ)dθ=f(tcosξ,tsinξ)⋅2π 其中ξ∈(0,2π)
∴lim⁡t→0+f(tcos⁡ξ,tsin⁡ξ)=f(0,0)\therefore \underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}f\left( t\cos \xi ,t\sin \xi \right) =f\left( 0,0 \right) ∴t→0+limf(tcosξ,tsinξ)=f(0,0)
带回去即可证出
lim⁡t→0+−12π∬Dxfx′(x,y)+yfy′(x,y)x2+y2dxdy=f(0,0)\underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{-1}{2\pi}\iint\limits_D{\frac{xf_x'\left( x,y \right) +yf_y'\left( x,y \right)}{x^2+y^2}dxdy}=f\left( 0,0 \right) t→0+lim2π−1D∬x2+y2xfx′(x,y)+yfy′(x,y)dxdy=f(0,0)

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