二项分布的期望方差证明

P(X=k)=(nk)pkqn−k,k=0,1,2,..,n,q=1−pEX=∑k=0nk(nk)pkqn−k=∑k=1nk(nk)pkqn−k=∑k=1nkn!k!(n−k)!pkqn−k=np∑k=1n(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk−1q(n−1)−(k−1)=np∑k=1n(n−1k−1)pk−1q(n−1)−(k−1)=np[(n−10)p0qn−1+(n−11)p1qn−2+...+(n−1n−1)pn−1q0]=npP(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ EX = \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^n k {\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k} \\ = np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\ = np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\ = np[{n-1\choose 0}p^0q^{n-1}+{n-1\choose 1}p^1q^{n-2}+...+{n-1\choose n-1}p^{n-1}q^0] \\ = np P(X=k)=(kn)pkqn−k,k=0,1,2,..,n,q=1−pEX=k=0∑nk(kn)pkqn−k=k=1∑nk(kn)pkqn−k=k=1∑nkk!(n−k)!n!pkqn−k=npk=1∑n(k−1)!(n−k)!(n−1)!pk−1q(n−1)−(k−1)=npk=1∑n(k−1n−1)pk−1q(n−1)−(k−1)=np[(0n−1)p0qn−1+(1n−1)p1qn−2+...+(n−1n−1)pn−1q0]=np

因为：DX=EX2−(EX)2DX = EX^2-(EX)^2DX=EX2−(EX)2

且，
EX2=∑k=1nk2(nk)pkqn−k,k=0,1,2,..,n,q=1−p=∑k=1n[k(k−1)+k](nk)pkqn−k=∑k=1nk(k−1)(nk)pkqn−k+∑k=1nk(nk)pkqn−k其中，∑k=1nk(nk)pkqn−k=EX=np∑k=1nk(k−1)(nk)pkqn−k=∑k=1nk(k−1)n!k!(n−k)!p2pk−2qn−k=∑k=2nk(k−1)n!k!(n−k)!p2pk−2qn−k注：特别注意这里k=1时项为0，所以可以从k=2开始计算。=∑k=1nn(n−1)(n−2)!(k−2)!(n−k)!p2pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2∑k=2n(n−2)!(k−2)!(n−k)!pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2∑k=2n(n−2k−2)pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2→EX2=n(n−1)p2+np→DX=EX2−(EX)2=np−np2=np(1−p)EX^2 = \sum_{k=1}^nk^2{n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ = \sum_{k=1}^n[k(k-1)+k]{n\choose k}p^kq^{n-k}\\ = \sum_{k=1}^nk(k-1){n\choose k}p^kq^{n-k} + \sum_{k=1}^nk{n\choose k}p^kq^{n-k}\\ 其中， \sum_{k=1}^nk{n\choose k}p^kq^{n-k} = EX = np\\ \sum_{k=1}^nk(k-1){n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^nk(k-1){\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{n-k} \\ = \sum_{k=2}^nk(k-1){\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{n-k} \\ 注：特别注意这里k=1时项为0，所以可以从k=2开始计算。\\ = \sum_{k=1}^n{\frac{n(n-1)(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]} \\ = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n{\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]}\\ = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n{n-2\choose k-2}p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]}\\ = n(n-1)p^2 \\ \rightarrow EX^2 = n(n-1)p^2+np \\ \rightarrow DX = EX^2-(EX)^2 = np-np^2 = np(1-p) EX2=k=1∑nk2(kn)pkqn−k,k=0,1,2,..,n,q=1−p=k=1∑n[k(k−1)+k](kn)pkqn−k=k=1∑nk(k−1)(kn)pkqn−k+k=1∑nk(kn)pkqn−k其中，k=1∑nk(kn)pkqn−k=EX=npk=1∑nk(k−1)(kn)pkqn−k=k=1∑nk(k−1)k!(n−k)!n!p2pk−2qn−k=k=2∑nk(k−1)k!(n−k)!n!p2pk−2qn−k注：特别注意这里k=1时项为0，所以可以从k=2开始计算。=k=1∑n(k−2)!(n−k)!n(n−1)(n−2)!p2pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2k=2∑n(k−2)!(n−k)!(n−2)!pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2k=2∑n(k−2n−2)pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2→EX2=n(n−1)p2+np→DX=EX2−(EX)2=np−np2=np(1−p)

核心思想是转化为更小规模的组合数，这里没法直接用幂级数的和函数求解思路。

END.

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