二项分布均值和方差的简单推导

前一篇文章《二项分布》中说过，伯努利分布（也称为两点分布或0-1分布）是二项分布在n=1时的特例。我们先看伯努利分布的均值和方差的推导。

根据离散型随机变量均值和方差的定义，若离散型随机变量X的分布列为：

X	x1	x2	...	xi	...	xn
P	p1	p2	...	pi	...	pn

则称E(X)=x1*p1+x2*p2+...+...xi*pi+...+xn*pn为随机变量X的均值或数学期望，称 $D(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}$ 为随机变量X的方差。

伯努利分布的分布列为：

X	0	1
P	1-p	p

则根据离散型随机变量的均值和方差定义：
E(X)=0*(1-p)+1*p=p

D(X)=(0-E(X))²(1-p)+(1-E(X))²p=p²(1-p)+(1-p)²p=p²-p³+p³-2p²+p=p-p²=p(1-p)

对于二项分布X~B(n,p)，X表示的是n次伯努利试验中事件发生次数的随机变量。用Xi表示第i次伯努利试验中的随机变量，那么n次伯努利试验总的随机变量X可以表示成：

X=X1+X2+...+Xi+...+Xn

一直没有找到满意的随机变量和、差、积、商的物理/几何/现实意义，如果有了解的朋友不妨留言，不甚感激。

根据均值和方差的性质,如果两个随机变量X,Y相互独立，那么：

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

对于二项分布X~B(n,p)，每一次伯努利试验都相互独立，因此：

E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xi)+...+E(Xn)=p+p+...+p+...p=np

D(X)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xi)+...+D(Xn)=p(1-p)+p(1-p)+...+p(1-p)+...+p(1-p)=np(1-p)

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