二项分布的期望方差证明

2007-01-07

二项分布和正态分布的期望与方差EX=n

我介绍一个较繁但易懂的方法。

先证kC(n,k)*p^k*q^(n-k)=np*[C(n-1,k-1)*p^(k-1)q^(n-k)]

过程如下：kC(n,k)*p^k*q^(n-k)

=k*(n!/[(n-k)!k!])*p^k*q^(n-k)

=np*[(n-1)!/((n-k)!(k-1)!]*p^(k-1)*q^(n-k)

=np*[C(n-1,k-1)*p^(k-1)q^(n-k)]

现在用定义证明EX=np

p+q=1

EX=0*C(n,0)p^0q^n+1*C(n,1)p^1q^(n-1)+2*C(n,2)p^2q^(n-2)+…

+kC(n,k)*p^k*q^(n-k)...全部

我介绍一个较繁但易懂的方法。

先证kC(n,k)*p^k*q^(n-k)=np*[C(n-1,k-1)*p^(k-1)q^(n-k)]

过程如下：kC(n,k)*p^k*q^(n-k)

=k*(n!/[(n-k)!k!])*p^k*q^(n-k)

=np*[(n-1)!/((n-k)!(k-1)!]*p^(k-1)*q^(n-k)

=np*[C(n-1,k-1)*p^(k-1)q^(n-k)]

现在用定义证明EX=np

p+q=1

EX=0*C(n,0)p^0q^n+1*C(n,1)p^1q^(n-1)+2*C(n,2)p^2q^(n-2)+…

+kC(n,k)*p^k*q^(n-k)+…+nC(n,n)p^nq^0 [注：第一项为0]

=np{C(n-1,0)p^0q^(n-1)+C(n-1,1)pq^(n-2)+…

+[C(n-1,k-1)*p^(k-1)q^(n-k)]+…+C(n-1,n-1)p^(n-1)q^0}

=np*(p+q)^(n-1)=np

。收起

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