基本题一：最长公共子序列问题

一、实验目的与要求

1、熟悉最长公共子序列问题的算法；

2、初步掌握动态规划算法；

二、实验题

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

三、实验提示

include "stdlib.h"
#include "string.h"void LCSLength(char *x ,char *y,intm,int n, int **c, int **b)
{inti ,j;for (i = 1; i<= m; i++) c[i][0] = 0;for (i = 1; i<= n; i++) c[0][i] = 0;for (i = 1; i<= m; i++)for (j = 1; j <= n; j++){if (x[i]==y[j]){c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;}else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=2;}else{    c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=3;}}
}
void LCS(inti ,int j, char *x ,int **b)
{if (i ==0 || j==0) return;if (b[i][j]== 1){LCS(i-1,j-1,x,b);printf("%c",x[i]);}else if (b[i][j]== 2)LCS(i-1,j,x,b);else LCS(i,j-1,x,b);
}

四、题目分析

在求最长公共子序列中，我们可以看出如下规律：

设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则

(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。

(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。(即：Z是X序列中前m个元素所组成的序列与Y序列的最长公共子序列)

(3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。(即：Z是Y序列中前n个元素所组成的序列与X序列的最长公共子序列)

由上面三个条件可得如下公式：

C[][]用来记录最长公共子序列的长度，则：

c[i][j] = <1> 0;                   (当i、j = 0时)；

<2> c[i-1][j-1] + 1;        (当i、j > 0 且 Xi = Yj时)(即第i个X序列元素与第j个Y元素相等)

<3> max(c[i][j-1] , c[i-1][j])       (当i、j > 0 且 Xi != Yj时)（当Xi与Yj不等时，取两个式子的最大值，若两者相等则默认取第一个）

五，源代码

importjava.util.*;
import java.io.*;public class LCS
{public static void main(String[] args) {  String s1 = "ABCBDAB";  String s2 = "BDCABA";  LCS cms = new LCS();  String[] x = cms.init(s1);  String[] y = cms.init(s2);  int[][] b = new int[x.length][y.length];  System.out.println("最大子序列的长度为："+lcsLength(x, y, b));  System.out.println("最大子序列为：");  lcs(x.length-1, y.length-1, x, b);} public static void lcs(inti, int j, String[] x, int[][] b) {  if (i == 0 || j == 0)  return;  if (b[i][j] == 1) {  lcs(i - 1, j - 1, x, b);  System.out.print(x[i]+"  ");  } else if (b[i][j] == 2)  lcs(i - 1, j, x, b);  elselcs(i, j - 1, x, b);  }  private String[] init(String str){  String temp = str;  String[] s = temp.split("");  return s;  }public static intlcsLength(String[] x, String[] y, int[][] b) {  int m = x.length - 1;  int n = y.length - 1;  int[][] c = new int[m + 1][n + 1];  for (inti = 1; i<= m; i++){  c[i][0] = 0;  }  for (inti = 1; i<= n; i++)  c[0][i] = 0;  for (inti = 1; i<= m; i++) {  for (int j = 1; j <= n; j++) {  if (x[i].equals(y[j])) {  c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;  b[i][j] = 1;  } else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {  c[i][j] = c[i - 1][j];  b[i][j] = 2;   } else {  c[i][j] = c[i][j - 1];  b[i][j] = 3;  }  }  }  return c[m][n];  }
}

结果：