Lecture 005-Duality theory

Outline •LP问题的对偶问题 •对偶性质 •对偶问题的经济解释 •灵敏度分析 •对偶单纯形法

对偶问题出发点的朴素认识

•最开始的出发点是为了保持原问题的参数A, b, c不变的前提下，•尝试是否能够构造出来性质上完全不同的其他线性规划问题？•如果能的话，跟原来的LP会不会有什么对应关系？••这个构造过程，首先把min变成max, 然后尝试把rhs的b换到c上去，把c换到rhs上，然后再调整A，使得结构上合理。然后是对偶的性质：弱对偶性、强对偶性、互补松弛性

对偶单纯形法的初衷，•Dual simplex method就是把simplex method直接用到D问题上，不是先把D进行standardize再用simplex method，而是直接应用，得出了一套流程，其实可以跟simplex method在P上的应用过程一一对应。••而且之所以会考虑dual simplex method，是因为有些P问题很难求解，但是对应的D问题有可能会比较容易求解。或者是P是degenerate的，它的对偶问题D往往是non-degenerate的。

••对偶单纯型法在整数规划的割平面法部分应用的很多。•给定当前一个LP问题的最优单纯形表，应用割平面法相当于在单纯形表中多加了一行，这种情况下应用对偶单纯形法进行处理会容易的多。

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•Primal simplex是先进基，再找出基变量

•Dual simplex是先出基，再找进基变量

•之所以会考虑dual simplex method，是因为有些P问题很难求解，但是对应的D问题有可能会比较容易求解。看P或者D，哪个更容易找到初始可行解。

•对偶单纯形法往往是嵌套在其他方法中的，尤其是在某个LP问题已经求解的前提下，我们可以得到最后的单纯形表。这时

•如果是再增加一个约束条件，相当于单纯形表中多增加一行，这时需要用对偶单纯形法，因为只需要关注这一行的变化，即右端项是不是负数。

•如果是再增加一个变量，相当于单纯形表中多增加一列，这时需要用原始单纯形法，关注这个新的变量的检验数是否为负。

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