Gragh rigid theory 图刚度理论

感觉没有找到一个现成的东西总结过这一块的知识，我就学习了一下试图讲清楚这一块是个啥。

首先它需要一些图论的基础知识，关于图的什么边啊点啊的定义我就不说了。

这篇博客基本上是基于MIT的课程写的

链接：Lecture 11: Rigidity Theory | Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra | Electrical Engineering and Computer Science | MIT OpenCourseWare

首先一个图是rigid的就是说这个图中的点在保证边长的情况下，除了平移和旋转不能做别的变换了，这是最直观的定义。比如一个矩形就是flexible的，因为它可以变成平行四边形。但给它加个对角线就是了，这时候就不能变了。一个图是不是刚性的不仅仅取决于点和边的关系，还取决于它要投到哪个d维空间中去（configuration）

然后我们给出一般刚度的定义：一般刚度是在刚刚的刚度的基础上，去掉一些奇怪的结构，比如二维中三点共线，三维空间中四点共面等等，这些特殊结构的特点就是能够降维。

为什么要去掉这些，俺也不知道。但是我估计主要是因为，证明中出现这些玩意儿很不好整，就是基于某个维度在解决这个问题，你图结构直接给我降维了就是另一个维度里面的事情了，不好把他们单独拎出来处理。

现在的主要问题是，对于一些更复杂的图，我们想知道这个图能满足点不变的情况下，最少边是多少，也就是min gen rigid

有两个算法来解决这个问题（充要）：Henneberg character theory和Laman's characterization

Henneberg character theory:

从两点一线开始，每个节点的加入有两种方式，但凡是这两种方式一步步变过来的图，就都是一般刚度的图。这两种方式是：

1、新节点有两个跟原图中的节点相连的边

2、在原图中的三个点，它们三个之间至少有一条边，新加入一个节点，和这三个点每个点连一条边，然后把原来她们三个之间连着的边删掉

ps：2条件可以扩展到四个点删两条边etc

这个的证明是通过证明flexible和加点后flexible等价实现的，举例对于方式1来说，原来的点v1,v2是可以动的，加入一个v3，有边v1-v3和v2-v3，但是v1,v2能动的话v3也能动了，但是其中除了三点一线的情况，加入中间点，长度刚好卡住。（这可能就是为什么给出一般刚度的定义吧）其他证明也类似

Laman's characterization：

一个图是最小一般刚度，等价于有2n-3条边，并且每个k点的子集不能超过2k-3条边。

同样也是一个充要，这个可以大概的想一下，就是最开始n个节点没有边的话每个点有2自由度（2维）所有节点就有2n的自由度，现在整个图的我们的目标自由度应该是3，加一条边去点一个自由度，所以要加2n-3条边。

这个就是大概这么一想，当然有基于集合的更严谨的证明，我没看(bushi

标准的图的刚度理论咱也不知道是哪个理论，暂且认为它们都能证明最小刚度的充要条件，那就都是吧，试图解释成广义的刚度理论...

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