非钝角△ABC各内角的正弦值之和大于2

证明：非钝角△ABC中，sinA+sinB+sinC＞2。
证明思路1：根据三角形内角和定理，三个内角之和等于180°，由三个变量转化成两个变量

sinA+sinB+sinC

=sinA+sinB+sin（A+B）（*）

进行不等式放缩，将（*）缩小，如果缩小得到的最小值都比2大的话，那么可以证明不等式成立。将A看成常量，B增大，那么sinB增大，sin（A+B）减小（（A+B）∈[90°，180°)）。此时，不能确定（*）式的变化情况。

考虑将其看成函数，无论是一元还是二元函数，对其求导得到的函数依然是三角函数，而且会更复杂，极小值点和极小值都很麻烦。

证明思路2：根据和差化积、倍角公式，将其转化成有效的整体，可以进行换元表达：

sinA+sinB+sin（A+B）

=2sin[（A+B）/2]cos[ (A-B) /2] + 2sin[（A+B）/2]cos[（A+B）/2]

=2sin[（A+B）/2]{cos[ (A-B) /2]+cos[（A+B）/2]}

=4sin[（A+B）/2]cos(A/2)cos(B/2)

不能进行换元，研究单调性，将A看成常量，B为变量，B增大时，cos（B/2）（（B/2）∈（0°，45°]）减小，sin[（A+B）/2]（[（A+B）/2]∈[45°，90°)）增大，此时变成了和证明思路1相同的情况。求导也不能很好解决。

证明思路3：考虑角度与边的关系，不等式两边同时乘以2R（R为△ABC外接圆的半径），经整理得：即证明：a+b+c>4R

∵a+b＞c

∴a+b+c＞2c

即证明2c>4R

即证明c>R+R

与已知事实矛盾，不成立

考虑到三边与外接圆半径的关系复杂，且限定了角度关系，余弦定理有角度与边的关系，但阶数为2；考虑面积，等式也很复杂；考虑数形结合，角度不好找。

证明思路4：借助题中第（1），（2）小问的递进关系，构造函数，得到构造不等式

题目第一问：在同一个图象中画出：y1=sinx和y2=(2/π)x，x∈[0,π/2]

题中第二问：y1与y2的图形有什么关系

当x∈[0,π/2]时，sinx≥（2/π）x，即y1的图象在y2图象的上方（只有在x=0和π/2这个点重合）

证明第三问：

∵△ABC为非钝角三角形

∴0°<A,B,C≤90°

由第二问可得：sinA≥（2/π）A ，sinB≥（2/π）B ，sinC≥（2/π）C

∴sinA+sinB+inC≥（2/π）A +（2/π）B +（2/π）C=（2/π）（A+B+C）=（2/π）π=2

即sinA+sinB+inC≥2 证毕。

总结：变量之间的关系总是很微妙，有时候不能很好的去在一定范围内去找到这种关系，也可能是时间太短，也没有仔细的去多思考一下每个证明的后续部分，等有时间在研究。但是构造函数确实很好的解决了这种你需要的关系，刚开始做得时候只看了第三问，没有解答出来。后来看了前两问，很快就解答出来了。递进的关系，构造的关系，辩证的去看待问题。越微妙的关系越喜欢。加油！慢慢来！

附：a/sinA=2R

由圆周角与圆心角的关系，可知：2∠BAC=∠BOC

根据三角形全等，可知∠BOM=∠COM

∴∠BAC=∠BOM

∴a/sin∠BAC=a/sin∠BOM=a/[（a/2）/R]=2R

即a/sinA=2R

附：

优弧：大于半圆的弧是优弧；

劣弧：小于半圆的弧是劣弧；

没有标注的弧为劣弧；

半圆是弧，而不是扇形；

扇形=弧+两条半径。

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