一、基本原理

关于角点特征检测，Chris Harris 和 Mike Stephens 在 1988 年的论文 A Combined Corner and Edge Detector 中进行了一次早期的尝试，所以现在它被称为 Harris Corner Detector。他把这个简单的想法转化为数学形式。它基本上找到了（a，b）在所有方向上的位移的强度差异。这表示如下：

$E(a,b)=\sum_{(x,y)}\underbrace{w(x,y)}_\text{window function}\underbrace{[I(x+a,y+b)}_\text{shifted intensity}-\underbrace{I(x,y)}_\text{ intensity}]^2\\$

窗口函数是矩形窗口或高斯窗口，它为下面的像素赋予权重。

我们必须最大化这个函数 E(u,v) 来进行角点检测。这意味着我们必须最大化第二项。将泰勒展开式应用于上述方程并使用一些数学步骤（请参阅您喜欢的任何标准教科书以获得完整推导），

我们这里只取一阶导数泰勒函数：

$I(x+a,y+b)=I(x,y)+aI_{x}(x,y) +bI_{y}(x,y)+\varepsilon (n>=2)$

所以，我们得到最终方程：：

$[I(x+a,y+b) - I(x ,y )]^2\\=[I(x,y)+aI_{x}(x,y) +bI_{y}(x,y)-I(x,y)]^2\\=[aI_{x}(x,y) +bI_{y}(x,y)]^2$

$[aI_{x}(x,y) +bI_{y}(x,y)]^2=(a,b)\begin{pmatrix} I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

上式中，令：

$M= \begin{pmatrix} I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end {pmatrix}$

故而：

$E(a,b)=\sum_{(x,y)}w(x,y)(a,b)\begin{pmatrix} I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

这里，a,b是给定的偏移，w是给定窗口，唯有M矩阵需要具体计算，这里，Ix和Iy分别是x和y方向的导数。(可以很容易的通过cv2.Sobel()得到)。

如下图，角点检测首先是在一个小区域进行。

在上图中，检测到的三个区域：

1）flate平坦区域
2）edge边缘区域
3）coner角度区域

能够分别得到窗口下的E(a,b)值。按道理：根据E(a,b)能够判别角点也是可以的。然而，用谱分解的原理是更加干净的判别方法。

对矩阵 $M= \begin{pmatrix} I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end {pmatrix}$ 求特征值，得到 $\lambda_1,\lambda_2$ ,通过比较 $\lambda_1,\lambda_2$ 的关系，可以得到角点的判断。如下图所示：

接下来就是重点部分。上述操作结束后，会得到一个分数，基于一个用来决定窗口内是否包含角点的等式。

$R=det(M)-k(trace(M))^2$

在以上公式中：

$det(M)=\lambda_1\lambda_2$
$trace(M)=\lambda_1+\lambda_2$
$\lambda_1\lambda_2$ 是M的特征值。

所以这些特征值决定了这个区域是角点，还是边缘，还是flat。

当|R|比较小时，也就是lambda 1和lambda 2比较小，区域是flat
当R<0时，也就是lambda 1远大于lambda 2或反之亦然，区域是边缘
当R比较大时，也就是lambda 1和lambda2都大且相似，区域是角点

可以用下面的图来表示

所以Harris角点检测的结果是一个带着这些分数的灰度图。图像角点检测需要一个合适的阈值。我们将用一个简单的图来实现。

二参考代码

import cv2
import numpy as npfilename = 'chessboard.jpg'
img = cv2.imread(filename)
gray = cv2.cvtColor(img,cv2.COLOR_BGR2GRAY)gray = np.float32(gray)
dst = cv2.cornerHarris(gray,2,3,0.04)#result is dilated for marking the corners, not important
dst = cv2.dilate(dst,None)# Threshold for an optimal value, it may vary depending on the image.
img[dst>0.01*dst.max()]=[0,0,255]cv2.imshow('dst',img)
if cv2.waitKey(0) & 0xff == 27:cv2.destroyAllWindows()

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