Moravec Detector

Moravec角点检测是第一个提出兴趣点(interest points)的Paper。它的主要思想是：以每个像素为中心，有一个固定的滑动窗口。该方法计算并在八个方向上（纵横以及斜对角）搜索每个像素的最小强度变化，如果最小值大于给定阈值，则检测出感兴趣点。

其可以用数学公式表达为：E(u,v)=∑x,yw(x,y)[I(x+u,y+v)−I(x,y)]2E(u, v)=\sum_{x, y} w(x, y)[I(x+u, y+v)-I(x, y)]^{2}E(u,v)=∑x,yw(x,y)[I(x+u,y+v)−I(x,y)]2

E(u,v)E(u,v)E(u,v)代表像素中心(x,y)(x,y)(x,y)在偏移量(u,v)(u,v)(u,v)的方向上的强度变化。
w(x,y)w(x,y)w(x,y)是一个指示函数，当(x,y)(x,y)(x,y)在滑动窗口内时，为1，若在滑动窗口外，则为0.
I(x,y)I(x,y)I(x,y)指的是在像素点(x,y)处的光强或者说是灰度值。

值得说明的是，这个式子是Harris总结的。

Harris Corner Detector

Moravec存在着许多不足。非常重要的一点就是：由于对于灰度值变化的梯度判断是离散的进行在8个方向，所以不具有旋转不变性；同时还会出现误判，尤其是当一条线不平行于这八个方向时，线上的点也会被误检测为角点。

为了进一步改进Moravec角点检测，Harris提出了著名的Harris角点检测。

E(u,v)=∑(x,y)w(x,y)[I(x+u,y+v)−I(x,y)]2≈∑(x,y)w(x,y)[I(x,y)+∂I∂x(x,y)u+∂I∂y(x,y)v−I(x,y)]2(一阶泰勒展开) ≈∑(x,y)w(x,y)[∂I∂x(x,y)u+∂I∂y(x,y)v]2(消除重复项) =∑x,yw(x,y)(u2fx2(x,y)+2uvfx(x,y)fy(x,y)+v2fy2(x,y))=∑x,yw(x,y)(u2Ix2+2uvIxIy+v2Iy2)(简化) =[uv](∑w(x,y)[Ix2IxIyIxIyIy2])[uv]=[uv]TH[uv]\begin{aligned} &E(u, v)=\sum_{(x, y)} w(x, y)[I(x+u, y+v)-I(x, y)]^{2}\\ &\approx \sum_{(x, y)} w(x, y)\left[I(x, y)+\frac{\partial I}{\partial x}(x, y) u+\frac{\partial I}{\partial y}(x, y) v-I(x, y)\right]^{2}\qquad\text { (一阶泰勒展开) }\\ &\approx \sum_{(x, y)} w(x, y)\left[\frac{\partial I}{\partial x}(x, y) u+\frac{\partial I}{\partial y}(x, y) v\right]^{2} \qquad \text { (消除重复项) }\\ &=\sum_{x, y} w(x, y)\left(u^{2} f_{x}^{2}(x, y)+2 u v f_{x}(x, y) f_{y}(x, y)+v^{2} f_{y}^{2}(x, y)\right)\text { }\\ &\begin{array}{l} =\sum_{x, y} w(x, y)\left(u^{2} I_{x}^{2}+2 u v I_{x} I_{y}+v^{2} I_{y}^{2}\right)\qquad \text { (简化) } \\ =\left[\begin{array}{ll} u & v \end{array}\right]\left(\sum w(x, y)\left[\begin{array}{cc} I_{x}^{2} & I_{x} I_{y} \\ I_{x} I_{y} & I_{y}^{2} \end{array}\right]\right)\left[\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right]^{T} H\left[\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right] \end{array} \end{aligned} E(u,v)=(x,y)∑w(x,y)[I(x+u,y+v)−I(x,y)]2≈(x,y)∑w(x,y)[I(x,y)+∂x∂I(x,y)u+∂y∂I(x,y)v−I(x,y)]2 (一阶泰勒展开) ≈(x,y)∑w(x,y)[∂x∂I(x,y)u+∂y∂I(x,y)v]2 (消除重复项) =x,y∑w(x,y)(u2fx2(x,y)+2uvfx(x,y)fy(x,y)+v2fy2(x,y)) =∑x,yw(x,y)(u2Ix2+2uvIxIy+v2Iy2) (简化) =[uv](∑w(x,y)[Ix2IxIyIxIyIy2])[uv]=[uv]TH[uv]
可以看到，E的变化主要与H的大小相关。所以只需要分析H的变化就可以得到E的变化趋势。

图像梯度：ΔI(x,y)=(∂I∂x(x,y),∂I∂y(x,y))\Delta I(x, y)=\left(\frac{\partial I}{\partial x}(x, y), \frac{\partial I}{\partial y}(x, y)\right)ΔI(x,y)=(∂x∂I(x,y),∂y∂I(x,y))

Harris矩阵：H=[∑(x,y)w(x,y)(∂I∂x(x,y))2∑(x,y)w(x,y)(∂I∂x(x,y))∂I∂y(x,y))∑(x,y)w(x,y)(∂I∂x(x,y))∂I∂y(x,y))∑(x,y)w(x,y)(∂I∂y(x,y))2]H=\left[\begin{array}{cc}\sum_{(x, y)} w(x, y)\left(\frac{\partial I}{\partial x}(x, y)\right)^{2} & \left.\sum_{(x, y)} w(x, y)\left(\frac{\partial I}{\partial x}(x, y)\right) \frac{\partial I}{\partial y}(x, y)\right) \\ \left.\sum_{(x, y)} w(x, y)\left(\frac{\partial I}{\partial x}(x, y)\right) \frac{\partial I}{\partial y}(x, y)\right) & \sum_{(x, y)} w(x, y)\left(\frac{\partial I}{\partial y}(x, y)\right)^{2}\end{array}\right]H=⎣⎡∑(x,y)w(x,y)(∂x∂I(x,y))2∑(x,y)w(x,y)(∂x∂I(x,y))∂y∂I(x,y))∑(x,y)w(x,y)(∂x∂I(x,y))∂y∂I(x,y))∑(x,y)w(x,y)(∂y∂I(x,y))2⎦⎤

w：表示权重，可以是0/1，也可以是以点为中心的高斯权重。

图像的水平梯度与垂直梯度：Ix=∂I(x+u,y+v)∂xIy=∂I(x+u,y+v)∂yI_{x}=\frac{\partial I(x+u, y+v)}{\partial x} \quad I_{y}=\frac{\partial I(x+u, y+v)}{\partial y}Ix=∂x∂I(x+u,y+v)Iy=∂y∂I(x+u,y+v)

Harris矩阵的特征值分析

对于图像：

平坦区域：梯度方向各异，但是梯度幅值变化不大
线性边缘：梯度幅值改变较大，梯度方向改变不大
角点：梯度方向和梯度幅值变化都较大

H\mathbf{H}H就是Harris矩阵。对其进行奇异值分解，两个特征值分别反映互相垂直方向上的梯度变化情况，分别代表最快和最慢的方向。特征值大的变化快，特征值小的变化慢。

进行特征值分解：SVD(H)=U∑V,(λ1,λ2),λ1>λ2S V D(H)=U \sum V,\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}\right), \quad \lambda_{1}>\lambda_{2}SVD(H)=U∑V,(λ1,λ2),λ1>λ2

那么就有：

特征值都比较大，则窗口中含有角点。
特征值一个比较大，一个比较小，则窗口中含有边缘线。
特征值都比较小，则处在平坦区域。

Harris角点准则

det⁡H=λ1λ2\operatorname{det} H=\lambda_{1} \lambda_{2}detH=λ1λ2

trace⁡H=λ1+λ2\operatorname{trace} H=\lambda_{1}+\lambda_{2}traceH=λ1+λ2

所以某点的响应函数：

R=det⁡(H)−ktrace⁡(H)2=λ1λ2−k(λ1+λ2)2,k=0.04R=\operatorname{det}(H)-\operatorname{ktrace}(H)^{2}=\lambda_{1} \lambda_{2}-k\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)^{2}, k=0.04R=det(H)−ktrace(H)2=λ1λ2−k(λ1+λ2)2,k=0.04

利用C与阈值比较判断，来判断其是否是角点。

R<0R<0R<0 边缘点
R≈0R \approx 0R≈0 平坦点
R>0R > 0R>0 角点

Shi-Tomasi 角点检测

在Harris角点检测的基础上，Shi和Tomasi 在1993的一篇论文《Good Features to track》中提出了基于Harris角点检测的Shi-Tomasi方法。

Harris角点检测的稳定性与k值有关，而k是个经验值。不好设定。

在此基础上，Shi与Tomasi发现，焦点的稳定性与矩阵的较小的特征值有关，直接使用较小的特征值作为分数。

所以：
R=min⁡(λ1,λ2)R=\min \left(\lambda_{1}, \lambda_{2}\right)R=min(λ1,λ2)

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