[素数拓展] 质因数的个数 [2007年清华大学计算机研究生机试真题]

题目描述:
求正整数N(N>1)的质因数的个数。相同的质因数需要重复计算。如120=22235，共有5个质因数。
输入描述:
可能有多组测试数据，每组测试数据的输入是一个正整数N，(1<N<10^9)。
输出描述:
对于每组数据，输出N的质因数的个数。
样例输入：
120
样例输出：
5

解题思路： 输入值的取值规模是10910^9109, 筛得的素数数目只需10510^5105，这样处理的理论依据是：n至多有一个大于sqrt(n)的素因数（否则两个大于sqrt(n)的数相乘大于n)。且若1~10000内的素数都不是某输入值的素因数，那么该数的质因数一定等于其本身，且幂指数为1。
代码流程：
1.利用素数筛法得0到100000内的所有素数
2.输入n
3.依次测试步骤1中得到的素数能否整除n，若能则表明该素数为它的一个素因数。
4.不断将n除以该素数，直到不能再被整除为止，同时统计其幂指数。
5.若在完成某个素数的幂指数统计后，n为1，则表明n的所有素因数全部被分解出来。
6.若遍历、测试、分解完所有的预处理出来的素数，n仍然没有被除成1，则表明n存在一个大于100000的因子，且该因子必为其素因数，且其幂指数必为1。
7.最后，将所有素因数的幂指数相加，即得到素因数的个数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; bool mark[100001];//mark[x]为true,则表示该数x已被标记为非素数
int prime[100000];//保存筛得的素数
int primeSize;//保存已得到的素数个数 void init(){//素数筛法 for(int i=0; i<=100000; i++)mark[i] = false;//初始化，所有数字均标记为素数primeSize = 0;//得到的素数个数初始为0 for(int i=2; i<=100000; i++){//依次遍历2到10000所有数字 if(mark[i]==true) continue;//若该数字已经被标记为非素数，则跳过 prime[primeSize++] = i;//否则，记录该素数 if(i>=1000) continue;//大于1000的不需要再进行标记，因为i在1000以内已经将100000以内的非素数都标记完了 for(int j=i*i; j<=1000; j+=i){//将该素数的所有倍数标记为 mark[j] = true;}}
} int main(){init();int n;while(scanf("%d", &n)!=EOF){int ansPrime[50]; //按顺序保存分解出的素因数int ansSize = 0; //分解出素因数的个数int ansNum[30]; //保存分解出的素因数对应的幂指数for(int i=0; i<primeSize; i++){//依次测试每一个素数 if(n%prime[i]==0){//若该素数能整除被分解的数 ansPrime[ansSize] = prime[i];//则该素数为其素因数ansNum[ansSize] = 0; //初始化幂指数为0while(n%prime[i]==0){ansNum[ansSize]++;n /= prime[i];}ansSize++; //素因数数量增加if(n==1) break; //若已被分解成1，则分解终止 } } if(n!=1){//若测试完2到100000内所有的素因数，n仍然没有被分解为1，则剩余的因数一定是一个大于100000的素因数 ansPrime[ansSize] = n; //记录该数ansNum[ansSize++] = 1;//其幂指数只能为1 } int ans = 0;for(int i=0; i<ansSize; i++)ans += ansNum[i]; //统计各个素因数的幂指数cout << ans << endl;//输出 }return 0;
}

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