随机微分方程的定义

经典力学中描述一个确定性系统的演化过程通常可以用微分方程，比如ODE
dxdt=b(x),x(0)=x0,x,b(x)∈Rn\frac{dx}{dt}=b(x),x(0)=x_0,x,b(x) \in \mathbb{R}^ndtdx=b(x),x(0)=x0,x,b(x)∈Rn
但统计物理中系统都不会是确定性的，因此一般需要给这个ODE加一个噪声，假设噪声项是σ(x)ηt\sigma(x)\eta_tσ(x)ηt，则
dxtdt=b(xt)+σ(xt)ηt\frac{dx_t}{dt}=b(x_t)+\sigma(x_t)\eta_tdtdxt=b(xt)+σ(xt)ηt
通常称b(x)b(x)b(x)为漂移项，σ(x)\sigma(x)σ(x)为噪声的强度，ηt\eta_tηt是白噪声。为了让这个定义有意义，需要定义一下白噪声。

白噪声过程

白噪声ηt\eta_tηt是一个随机过程，假设概率空间为(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)，假设t∈T=[0,+∞)t\in \mathcal{T} = [0,+\infty)t∈T=[0,+∞)，则ηt\eta_tηt可以看成映射：
ηt:(Ω×T,F⊗B(T),P⊗λ)→(Rm,B(Rm))\eta_t:(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}(\mathcal{T}),P\otimes\lambda) \to (\mathbb{R}^m,\mathcal{B}(\mathbb{R}^m))ηt:(Ω×T,F⊗B(T),P⊗λ)→(Rm,B(Rm))
其中B(T)\mathcal{B}(\mathcal{T})B(T)是T\mathcal{T}T生成的Borel σ\sigmaσ代数，λ\lambdaλ是可测空间(T,B(T)(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{T})(T,B(T)上的Lebesgue测度。ηt\eta_tηt满足下面三条公理化定义：

Eηt=0,∀t∈TE\eta_t=0,\forall t \in \mathcal{T}Eηt=0,∀t∈T
Eηtηs=σ2δts,∀t,s∈T,σ2<+∞E\eta_t\eta_s=\sigma^2\delta_{ts},\forall t,s \in \mathcal{T},\sigma^2 < +\inftyEηtηs=σ2δts,∀t,s∈T,σ2<+∞
高斯过程

但这个定义有一个缺点，即满足这个定义的随机过程路径函数不可测。给定w∈Ωw \in \Omegaw∈Ω，ηt(w)\eta_t(w)ηt(w)是一个确定性的映射：
ηt(w):(T,B(T),λ)→(Rm,B(Rm))\eta_t(w): (\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{T}),\lambda) \to (\mathbb{R}^m,\mathcal{B}(\mathbb{R}^m))ηt(w):(T,B(T),λ)→(Rm,B(Rm))
这个叫路径函数（path function）或者叫这个随机过程的一个实现（realization）。
定理1 白噪声过程的路径函数不可测。
证明的时候考虑更一般的白噪声，即去掉假设3，正式的叙述为：

以及给一个我自己写的比较简陋的证明：

更完整的叙述可以看Oksendal的Stochastic Differential Equation的第二章。

为了让它的路径函数可测，通常将定义2修正为：

Eηtηs=δtsE\eta_t\eta_s=\delta_{ts}Eηtηs=δts

根据上面1、2、3定义的随机过程ηt\eta_tηt就是白噪声过程（更准确地，高斯白噪声）。

SDE的一般形式

现在重新考虑
dxtdt=b(xt)+σ(xt)ηt⇔dxt=b(xt)dt+σ(xt)ηtdt\frac{dx_t}{dt}=b(x_t)+\sigma(x_t)\eta_t \\ \Leftrightarrow dx_t = b(x_t)dt + \sigma(x_t)\eta_t dtdtdxt=b(xt)+σ(xt)ηt⇔dxt=b(xt)dt+σ(xt)ηtdt
对于ηtdt\eta_t dtηtdt，假设它是某个随机过程WtW_tWt的全微分，即
dWt=ηtdt⇔Wt=∫0tηsdsdW_t = \eta_t dt \Leftrightarrow W_t = \int_{0}^t \eta_s dsdWt=ηtdt⇔Wt=∫0tηsds
积分的本质就是部分和的极限，这些运算保证WtW_tWt也是一个高斯过程。事实上我们一般称WtW_tWt为Wiener过程或者Brown运动，下一讲会正式定义Wiener过程。有了这个定义后，可以写出SDE的一般形式：
dxt=b(xt)dt+σ(xt)dWtdx_t = b(x_t)dt + \sigma(x_t)dW_tdxt=b(xt)dt+σ(xt)dWt
已知初值的情况下，可以写出这个式子的积分：
xt=x0+∫0tb(xs)ds+∫0tσ(xs)dWsx_t = x_0 + \int_0^t b(x_s)ds + \int_0^t \sigma(x_s)dW_sxt=x0+∫0tb(xs)ds+∫0tσ(xs)dWs
搞清楚了右边这两个积分，我们就可以找到SDE的解了。第一个积分是
∫0tb(xs)ds\int_0^t b(x_s)ds∫0tb(xs)ds
可以看成是对b(xs)b(x_s)b(xs)的每一个路径函数积分，这个就是实分析的内容不用多讨论；第二个积分是
∫0tσ(xs)dWs\int_0^t \sigma(x_s)dW_s∫0tσ(xs)dWs
一般称其为Ito积分，下下讲会给出Ito积分的正式定义。Ito随机分析框架的目标就是求解上面的定义的SDE。

一个更一般的观点是并不给定ηt\eta_tηt的具体形式，把SDE看成是随机过程ηt\eta_tηt到随机过程xtx_txt的变换。

例子：Ornstein-Uhlenbeck过程

考虑用如下SDE定义的初值为x0x_0x0的随机过程xtx_txt：
dxt=−kxtdt+ϵdWt,k,ϵ>0dx_t = -kx_tdt + \epsilon dW_t,k,\epsilon>0dxt=−kxtdt+ϵdWt,k,ϵ>0
现在还没有讲过SDE的解法，所以先直观地思考一下这个方程。首先我们发现，ϵdWt\epsilon dW_tϵdWt是时间dtdtdt内的噪声项，排除掉噪声，原始的系统是
dx=−kxdtdx= -kxdtdx=−kxdt
这个系统的解就是x(t)=x0e−ktx(t)=x_0e^{-kt}x(t)=x0e−kt，一般用来描述衰变等过程，这个解换个写法就是x(t)ekt=const.x(t)e^{kt}=const.x(t)ekt=const.，也就是d(x(t)ekt)=0d(x(t)e^{kt})=0d(x(t)ekt)=0。我们可以根据SDE试图计算一下d(xtekt)d(x_te^{kt})d(xtekt)：
d(xtekt)=ektdxt+d(ekt)xt=ekt(−kxtdt+ϵdWt)+kektxtdt=ϵektdWtd(x_te^{kt}) = e^{kt}dx_t + d(e^{kt})x_t \\ = e^{kt}(-kx_tdt + \epsilon dW_t) + ke^{kt}x_t dt =\epsilon e^{kt}dW_td(xtekt)=ektdxt+d(ekt)xt=ekt(−kxtdt+ϵdWt)+kektxtdt=ϵektdWt
也就是说随机过程xtektx_te^{kt}xtekt的全微分只含有噪声项，求积分：
xtekt=x0+ϵ∫0teksdWs⇔xt=x0e−kt+ϵ∫0te−k(t−s)dWsx_te^{kt} = x_0 + \epsilon \int_0^t e^{ks} dW_s \\ \Leftrightarrow x_t = x_0 e^{-kt} + \epsilon \int_0^t e^{-k(t-s)}dW_sxtekt=x0+ϵ∫0teksdWs⇔xt=x0e−kt+ϵ∫0te−k(t−s)dWs
这个就是上面那个SDE的解。这个包含一个确定项和一个随机过程，确定项正好是不考虑噪声的ODE的解。

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