UA MATH565C 随机微分方程V 无穷小生成算子

Infinitesimal generator as derivative

这一讲给出算子半群那一讲提出的infinitesimal generator的作用和微分类似的命题的证明思路。对于Banach空间（有界连续函数，supnorm）BBB上的算子半群PtP^tPt，构造一个子空间：
B0={f∈B:lim⁡t→0+∥Ptf−f∥=0}B_0 = \{f \in B: \lim_{t \to 0^+} \left\| P^tf-f\right\|=0\}B0={f∈B:t→0+lim∥∥Ptf−f∥∥=0}
这个子空间有如下性质：

性质一：B0B_0B0是一个闭集；

证明验证B0B_0B0中的任意柯西序列fnf_nfn的极限f∈B0f \in B_0f∈B0
∥Ptf−f∥≤∥Ptf−Ptfn∥+∥Ptfn−fn∥+∥fn−f∥\left\| P^tf-f\right\| \le \left\| P^tf-P^tf_n\right\| + \left\| P^tf_n-f_n\right\| + \left\| f_n-f\right\| ∥∥Ptf−f∥∥≤∥∥Ptf−Ptfn∥∥+∥∥Ptfn−fn∥∥+∥fn−f∥
根据B0B_0B0的定义，右边第二项极限为0，根据算子PtP^tPt的压缩性第三项是第一项的上界，因此
∥Ptf−f∥≤2∥fn−f∥\left\| P^tf-f\right\| \le 2 \left\| f_n-f\right\| ∥∥Ptf−f∥∥≤2∥fn−f∥
因为fff是柯西序列fnf_nfn的极限，当nnn足够大时，取∥fn−f∥≤ϵ2,∀ϵ>0\left\| f_n-f\right\| \le \frac{\epsilon}{2},\forall \epsilon >0∥fn−f∥≤2ϵ,∀ϵ>0，则∥Ptf−f∥≤ϵ\left\| P^tf-f\right\| \le \epsilon∥Ptf−f∥≤ϵ，f∈B0f \in B_0f∈B0。

性质二：t→Ptft \to P^tft→Ptf在B0B_0B0上一致连续

证明 ∀s≤t\forall s \le t∀s≤t,
∥Ptf−Psf∥=∥Ps(Pt−s−I)f−f∥≤∥(Pt−s−I)f−f∥→0,ast−s→0\left\| P^t f - P^s f \right\| = \left\| P^s(P^{t-s} - I) f - f \right\| \le \left\| (P^{t-s} - I) f - f \right\| \to 0,\ as\ t-s \to 0 ∥∥Ptf−Psf∥∥=∥∥Ps(Pt−s−I)f−f∥∥≤∥∥(Pt−s−I)f−f∥∥→0, as t−s→0

这两个性质说明，把算子半群限制在B0B_0B0上具有良好的性质。

性质三：DA⊂B0D_A \subset B_0DA⊂B0，DAD_ADA是infinitesimal generator的定义域：
DA={f∈B:∃lim⁡t→0t−1(Ptf−f)}D_A = \{f \in B: \exists \lim_{t \to 0} t^{-1}(P^tf-f)\}DA={f∈B:∃t→0limt−1(Ptf−f)}

性质三的意义是说明即使把算子半群限制在了B0B_0B0上，因为我们关注的是DAD_ADA内的函数，所以这个限制也不会影响我们进一步分析。

Infinitesimal generator as derivative

f∈DA,Ptf∈DAf \in D_A,P^tf \in D_Af∈DA,Ptf∈DA，则
APtf=PtAf=ddtPtfAP^tf = P^t Af = \frac{d}{dt} P^t fAPtf=PtAf=dtdPtf
这个式子说明PtP^tPt与AAA的关系就像是Pt=etAP^t = e^{tA}Pt=etA一样。

证明
h−1(PhPtf−Ptf)=h−1(Pt+hf−Ptf)=Pt(phf−f)h^{-1}(P^hP^tf-P^tf) = h^{-1}(P^{t+h}f-P^tf) = P^t (p^hf-f)h−1(PhPtf−Ptf)=h−1(Pt+hf−Ptf)=Pt(phf−f)
计算
∥h−1(Pt+hf−Ptf)−PtAf∥=∥Pt[h−1(Phf−f)−Af]∥≤∥h−1(Phf−f)−Af∥→0,ash→0\left\| h^{-1}(P^{t+h}f - P^tf) - P^tAf \right\| = \left\| P^t [h^{-1}(P^{h} f - f) - Af ]\right\| \\ \le \left\| h^{-1}(P^{h} f - f) - Af \right\| \to 0,\ as\ h \to 0∥∥h−1(Pt+hf−Ptf)−PtAf∥∥=∥∥Pt[h−1(Phf−f)−Af]∥∥≤∥∥h−1(Phf−f)−Af∥∥→0, as h→0
这说明Ptf∈DAP^t f \in D_APtf∈DA，并且APtf=PtAfAP^tf = P^t AfAPtf=PtAf，以及等于right derivative。接下来考虑left derivative，
∥(−h)−1(Pt−hf−Ptf)−PtAf∥≤∥Pt−h(−h)−1(f−Phf)−Pt−hAf∥+∥Pt−hAf−PtAf∥≤∥h−1(Phf−f)−Af∥+∥Pt−hAf−PtAf∥\left\| (-h)^{-1}(P^{t-h}f - P^tf) - P^tAf \right\| \\ \le \left\| P^{t-h} (-h)^{-1}(f - P^hf) - P^{t-h}Af \right\| + \left\| P^{t-h}Af - P^t Af \right\| \\ \le \left\| h^{-1}(P^hf-f) - Af \right\| + \left\| P^{t-h}Af - P^t Af \right\|∥∥(−h)−1(Pt−hf−Ptf)−PtAf∥∥≤∥∥Pt−h(−h)−1(f−Phf)−Pt−hAf∥∥+∥∥Pt−hAf−PtAf∥∥≤∥∥h−1(Phf−f)−Af∥∥+∥∥Pt−hAf−PtAf∥∥
根据AAA的定义以及性质二，性质三（DA⊂B0⇒Af∈B0D_A \subset B_0 \Rightarrow Af \in B_0DA⊂B0⇒Af∈B0），这个上界趋于0。

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