UA MATH565C 随机微分方程III Ito积分的构造

Filtration
Step Process的Ito积分
- Step Process的Ito积分的性质

上一讲讨论到，构造Ito积分要用构造Lebesgue积分的思想，类比简单可测函数，先考虑step process，然后用step process逼近一般随机过程；而实施这个操作之前需要修正一下随机过程原象空间的定义，让其能够描述时间集T\mathcal{T}T的特殊性，而不是简单地把T\mathcal{T}T当成[0,∞)[0,\infty)[0,∞)，用Borel σ\sigmaσ代数构造它的可测空间。

Filtration

前一讲用的随机过程的原象空间是(Ω×T,F⊗B(T),P⊗λ)(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}(\mathcal{T}),P\otimes\lambda)(Ω×T,F⊗B(T),P⊗λ)，T=[0,∞)\mathcal{T}=[0,\infty)T=[0,∞)，像空间是(Rm,B(Rm))(\mathbb{R}^m,\mathcal{B}(\mathbb{R}^m))(Rm,B(Rm))。时间集和事件集的直积Ω×T\Omega \times \mathcal{T}Ω×T可以不用修正，但它的σ\sigmaσ代数需要修正。

数学符号比较抽象，我们来讨论一下F⊗B(T)\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}(\mathcal{T})F⊗B(T)是个啥。首先它是Ω×T\Omega \times \mathcal{T}Ω×T的σ\sigmaσ代数，毋庸置疑，它是由事件集Ω\OmegaΩ的σ\sigmaσ代数F\mathcal{F}F与时间集的Borel σ\sigmaσ代数的张量积运算构造出来的。还是比较抽象，但是这个构造会导致事件集中每一个事件都可以与任一时间组合，也就是说当我们写出了这个σ\sigmaσ代数的时候，我们就能看到未来所有的可能性了。但实际上我们只能了解到现在为止发生了什么，未来可能会发生什么我们是不清楚的，或许可以做出几个猜测，但不可能穷举所有的可能。所以这个σ\sigmaσ代数的定义显然不符合认知。

为了描述“我们只能了解到现在为止发生了什么”，定义
Ft=σ(Ws,s≤t)\mathcal{F}_t = \sigma(W_s,s\le t)Ft=σ(Ws,s≤t)
Ft\mathcal{F}_tFt叫做Filtration (滤波)，这个定义的意思是ttt时刻的σ\sigmaσ代数是随机过程到ttt时刻为止的所有可能性。更数学地理解这个定义的话，它是由下面的集合生成的σ\sigmaσ代数：
{w∈Ω:Ws(w)∈B(Rm),s≤t}\{w\in\Omega:W_s(w) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m),s\le t\}{w∈Ω:Ws(w)∈B(Rm),s≤t}
从而随机过程可以写成下面这种映射：
Wt:(Ω,Ft,P)→(Rm,B(Rm))W_t:(\Omega,\mathcal{F}_t,P) \to (\mathbb{R}^m,\mathcal{B}(\mathbb{R}^m))Wt:(Ω,Ft,P)→(Rm,B(Rm))
时间的概念就被包含在滤波中了。滤波Ft\mathcal{F}_tFt也是这个概率空间的σ\sigmaσ代数，它是随时间推移逐渐扩张的，也就是
∀s≤t,Fs⊂Ft\forall s \le t,\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t∀s≤t,Fs⊂Ft
这个是随机分析与实分析最大的区别。

接下来在概率空间(Ω,Ft,P)(\Omega,\mathcal{F}_t,P)(Ω,Ft,P)上定义可测的概念。如果∀B∈B(Rm)\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)∀B∈B(Rm)，
{w∈Ω:Ws(w)∈B,s≤t}∈Ft\{w \in \Omega:W_s(w)\in B,s \le t\} \in \mathcal{F}_t{w∈Ω:Ws(w)∈B,s≤t}∈Ft
称随机过程WtW_tWt在Ft\mathcal{F}_tFt上可测，但这里σ\sigmaσ代数的含义不一样了，所以要换个名字，称WtW_tWt adapted to Ft\mathcal{F}_tFt，记为Wt∈mFtW_t \in m\mathcal{F}_tWt∈mFt。

现在关于σ\sigmaσ代数的修正就做完了，接下来开始按部就班构造Ito积分。

Step Process的Ito积分

定义ftf_tft是step process，如果∀0=t0<t1⋯<tn=t\forall 0=t_0<t_1 \cdots < t_n = t∀0=t0<t1⋯<tn=t，
ft=fj,t∈[tj,tj+1),j=0,⋯,n−1ft=0,t≥tnf_t = f_j, t \in [t_j,t_{j+1}),j=0,\cdots,n-1 \\ f_t = 0, t\ge t_nft=fj,t∈[tj,tj+1),j=0,⋯,n−1ft=0,t≥tn
其中fjf_jfj是定义在(Ω,Ft,P)(\Omega,\mathcal{F}_t,P)(Ω,Ft,P)的随机变量。通常假设ft∈mFtf_t \in m\mathcal{F}_tft∈mFt，也就是∀j,fj∈mFtj\forall j,f_j \in m\mathcal{F}_{t_j}∀j,fj∈mFtj。这里的t0,t1,⋯,tnt_0,t_1,\cdots,t_nt0,t1,⋯,tn就可以不是上一讲那种均等分割了。

定义step process的Ito积分为
∫0tfsdWs=∑j=0n−1fjΔjWt\int_0^t f_s dW_s = \sum_{j=0}^{n-1} f_j\Delta_j W_t∫0tfsdWs=j=0∑n−1fjΔjWt

Step Process的Ito积分的性质

做推广之前先叙述一些重要的性质：

∫0tfsdWs∈mFt\int_0^t f_s dW_s \in m\mathcal{F}_t∫0tfsdWs∈mFt
E[∫0tfsdWs]=0E \left[ \int_0^t f_s dW_s \right]=0E[∫0tfsdWs]=0
如果gtg_tgt也是step process，∀0=t0<t1⋯<tn=t\forall 0=t_0<t_1 \cdots < t_n = t∀0=t0<t1⋯<tn=t，
gt=gj,t∈[tj,tj+1),j=0,⋯,n−1gt=0,t≥tng_t = g_j, t \in [t_j,t_{j+1}),j=0,\cdots,n-1 \\ g_t = 0, t\ge t_ngt=gj,t∈[tj,tj+1),j=0,⋯,n−1gt=0,t≥tn
则E[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=∫0tE[fsgs]dsE \left[ \int_0^t f_s dW_s \int_0^t g_s dW_s \right] = \int_0^t E \left[ f_s g_s \right]dsE[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=∫0tE[fsgs]ds

先讨论第二条性质。
E[∫0tfsdWs]=E[∑j=0n−1fjΔjWt]=∑j=0n−1E[fjΔjWt]E \left[ \int_0^t f_s dW_s \right] = E \left[ \sum_{j=0}^{n-1} f_j\Delta_j W_t \right] = \sum_{j=0}^{n-1} E \left[ f_j\Delta_j W_t \right]E[∫0tfsdWs]=E[j=0∑n−1fjΔjWt]=j=0∑n−1E[fjΔjWt]
因为fj∈mFtjf_j \in m\mathcal{F}_{t_j}fj∈mFtj，ΔjWt∈m(Ftj+1∖Ftj)\Delta_j W_t \in m(\mathcal{F}_{t_{j+1}} \setminus \mathcal{F}_{t_j})ΔjWt∈m(Ftj+1∖Ftj)，Ftj∩Ftj+1∖Ftj=ϕ\mathcal{F}_{t_j} \cap \mathcal{F}_{t_{j+1}} \setminus \mathcal{F}_{t_j} = \phiFtj∩Ftj+1∖Ftj=ϕ，所以
E[fjΔjWt]=EfjEΔjWt=Efj⋅0=0E \left[ f_j\Delta_j W_t \right] = Ef_jE\Delta_j W_t = Ef_j \cdot0=0E[fjΔjWt]=EfjEΔjWt=Efj⋅0=0
需要注明的是两个随机过程的filtration不相交的时候，他们就是互相独立的。

第三条性质不论是在计算中还是在证明中都非常有用，一般称其为Ito isometry。这个性质稍微复杂一点，放在下一讲来写好了。

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