UA MATH565C 随机微分方程III Ito Isometry

定义ft,gtf_t,g_tft,gt是step process，∀0=t0<t1⋯<tn=t\forall 0=t_0<t_1 \cdots < t_n = t∀0=t0<t1⋯<tn=t，
ft=fj,t∈[tj,tj+1),j=0,⋯,n−1ft=0,t≥tnf_t = f_j, t \in [t_j,t_{j+1}),j=0,\cdots,n-1 \\ f_t = 0, t\ge t_nft=fj,t∈[tj,tj+1),j=0,⋯,n−1ft=0,t≥tn
gt=gj,t∈[tj,tj+1),j=0,⋯,n−1gt=0,t≥tng_t = g_j, t \in [t_j,t_{j+1}),j=0,\cdots,n-1 \\ g_t = 0, t\ge t_ngt=gj,t∈[tj,tj+1),j=0,⋯,n−1gt=0,t≥tn
则Ito Isometry指的是
E[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=∫0tE[fsgs]dsE \left[ \int_0^t f_s dW_s \int_0^t g_s dW_s \right] = \int_0^t E \left[ f_s g_s \right]dsE[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=∫0tE[fsgs]ds

证明
E[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=E[∑j=0n−1fjΔjWt∑k=0n−1gkΔkWt]=∑j=0n−1∑k=0n−1E[fjgkΔkWtΔjWt]E \left[ \int_0^t f_s dW_s \int_0^t g_s dW_s \right] \\= E \left[ \sum_{j=0}^{n-1} f_j\Delta_j W_t \sum_{k=0}^{n-1} g_k\Delta_k W_t \right] \\ = \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} E \left[ f_j g_k\Delta_k W_t \Delta_j W_t\right] E[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=E[j=0∑n−1fjΔjWtk=0∑n−1gkΔkWt]=j=0∑n−1k=0∑n−1E[fjgkΔkWtΔjWt]
如果j<kj<kj<k
E[fjgkΔkWtΔjWt]=E[fjgkΔjWt]E[ΔkWt]=0E \left[ f_j g_k\Delta_k W_t \Delta_j W_t\right] = E \left[ f_j g_k \Delta_j W_t\right] E[\Delta_k W_t ]=0E[fjgkΔkWtΔjWt]=E[fjgkΔjWt]E[ΔkWt]=0
这里独立性的用法与性质2一样；如果j=kj=kj=k
E[fjgjΔjWtΔjWt]=E[fjgj]E[ΔjWtΔjWt]=E[fjgj]ΔjtE \left[ f_j g_j\Delta_j W_t \Delta_j W_t\right] = E \left[ f_j g_j\right] E[\Delta_j W_t \Delta_j W_t] = E \left[ f_j g_j\right] \Delta_j tE[fjgjΔjWtΔjWt]=E[fjgj]E[ΔjWtΔjWt]=E[fjgj]Δjt
所以
E[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=∑j=0n−1E[fjgj]ΔjtE \left[ \int_0^t f_s dW_s \int_0^t g_s dW_s \right] =\sum_{j=0}^{n-1} E \left[ f_j g_j\right] \Delta_j tE[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=j=0∑n−1E[fjgj]Δjt
显然右边这个是简单可测函数的Lebesgue积分：
∫0tE[fsgs]ds\int_0^t E \left[ f_s g_s \right]ds∫0tE[fsgs]ds
综上
E[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=∫0tE[fsgs]dsE \left[ \int_0^t f_s dW_s \int_0^t g_s dW_s \right] = \int_0^t E \left[ f_s g_s \right]dsE[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]=∫0tE[fsgs]ds
证毕。

关于这个性质再做一些评注。左边这个表达式E[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]E \left[ \int_0^t f_s dW_s \int_0^t g_s dW_s \right]E[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]，展开来写是
∫Ω[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]dP\int_{\Omega} \left[ \int_0^t f_s dW_s \int_0^t g_s dW_s \right] dP∫Ω[∫0tfsdWs∫0tgsdWs]dP
它可以看成是Hilbert空间L2(Ω,Ft,P)L^2(\Omega,\mathcal{F}_t,P)L2(Ω,Ft,P)上的内积。右边的表达式∫0tE[fsgs]ds\int_0^t E \left[ f_s g_s \right]ds∫0tE[fsgs]ds展开来写是
∫0t∫Ωfsgsdλ⊗P\int_0^t\int_{\Omega}f_sg_s d\lambda \otimes P∫0t∫Ωfsgsdλ⊗P
这个是Hilbert空间L2(Ω×[0,∞),F⊗B([0,∞)),λ⊗P)L^2(\Omega\times[0,\infty),\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}([0,\infty)),\lambda \otimes P)L2(Ω×[0,∞),F⊗B([0,∞)),λ⊗P)上的积分。这个Hilbert空间的σ\sigmaσ代数其实就是是我们一开始定义的随机过程的那个σ\sigmaσ代数。Isometry的含义是等距同构，假设Hilbert空间L2(Ω,Ft,P)L^2(\Omega,\mathcal{F}_t,P)L2(Ω,Ft,P)就用那个内积导出的距离，然后用右边的表达式展开的那个积分作为Hilbert空间L2(Ω×[0,∞),F⊗B([0,∞)),λ⊗P)L^2(\Omega\times[0,\infty),\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}([0,\infty)),\lambda \otimes P)L2(Ω×[0,∞),F⊗B([0,∞)),λ⊗P)上距离，考虑映射：
J0:L2(Ω×[0,∞),F⊗B([0,∞)),λ⊗P)→L2(Ω,Ft,P)J_0:L^2(\Omega\times[0,\infty),\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}([0,\infty)),\lambda \otimes P) \to L^2(\Omega,\mathcal{F}_t,P)J0:L2(Ω×[0,∞),F⊗B([0,∞)),λ⊗P)→L2(Ω,Ft,P)
根据性质3，在上面两个距离（fsf_sfs与gsg_sgs的距离）的定义下，这两个空间是等距同构的，J0J_0J0是他们的同构映射，所以性质3叫做Ito Isometry。

这个性质有一个非常常用的推论：如果f=gf=gf=g
E[∫0tfsdWs]2=∫0tE[fs]2dsE \left[ \int_0^t f_s dW_s \right]^2 = \int_0^t E \left[ f_s \right]^2dsE[∫0tfsdWs]2=∫0tE[fs]2ds

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