gamma函数与gamma分布

上一篇讲到了gamma函数，今天讲一下gamma分布。既然二者的名字都含有gamma，必然是有联系的。我们先从gamma函数来讲gamma分布，完全是从数学的角度，然后再从概率统计的角度来看gamma分布。

我们已经知道，gamma函数的一般形式是

其中a为实数，x>=0。

接下来我们基于gamma函数生成一个概率密度函数(probability density function)，简称pdf。概率密度函数在定义域内的积分为1，且函数值的范围是[0,1]。要基于gamma函数得到一个概率密度函数，方法就是在gamma函数一般形式的两侧都除以(a)，得到

满足了概率密度函数的要求，而这个概率密度函数就是gamma分布的概率密度函数，为了使概率密度函数具有概率统计上的意义，将x用x/θ代替，θ为常数，具体的概率统计意义后文会介绍。替代后的等式为

得到gamma分布的概率密度函数

gamma分布与指数分布

前文从数学的角度得到gamma分布的概率密度函数，现在通过一个概率统计的例子来推导。

在《10分钟了解泊松分布》中，我们知道了泊松分布与指数分布的关系，在事件的发生次数满足泊松分布的情况下，事件发生一次的时间间隔满足指数分布。而gamma分布，是指数分布的拓展，表示事件发生a次的时间间隔。现在定义事件单位时间内平均发生的次数为λ，事件发生一次等待的平均时间θ则为1/λ，W表示事件发生a次需要等待的时间，X表示单位时间内事件发生的次数。则X满足泊松分布，概率质量函数为：

现在我们求W的概率密度函数f(w)，我们可以先求W的概率分布函数F(w)，再对F(w)求导就能得到概率密度函数f(w)。

根据概率分布函数的定义可以得到

那么

下面我们将P(W>w)的概率转化成泊松分布的场景。P(W>w)表示事件发生a次，需要等待的时间超过w的概率。那么，在时间间隔[0, w]内，事件的发生一定小于a次，即[0, a-1]次，表示为

其中

我们知道X满足泊松分布，时间间隔[0,w]的平均发生次数是λw，所以可以得到

下面我们对F(w)做微分，即可得到概率密度函数f(w)

将λe−λw移出累加，并且k除以k！得

将k=1，2，3…a-1展开得

仔细观察中括号内部是一个可以错位相减，得到

已经很接近最终答案了，由于λ=1/θ，代入得

得到了与前文通过数学方法一样的公式，(a-1)!可以用(a)表示。其中a代表事件发生a次，θ代表事件发生一次需要等待的平均时间，w代表事件发生a次需要等待的时间。表示为 W~GAMMA(a, θ)。当a=1时，gamma分布变成了指数分布。所以指数分布是gamma分布的特例。

当保持θ不变时，取1，a的取值对于gamma概率密度函数的影响如下，红，橙，绿，浅蓝，深蓝分别对应a的值为1，1.5，2，3，4。

当a保持不变时，取2，θ的取值对于gamma概率密度函数的影响如下，红，橙，绿，浅蓝，深蓝分别对应θ的值为1，1.5，2，3，4。

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