离散求边缘密度_密度梯度理论简介——半导体器件仿真
随着半导体技术逐渐向小型化器件发展,量子限制效应变得越来越重要。针对半导体器件的物理场仿真,密度梯度理论提供了一种有效的计算方法,将量子限制用于传统的漂移扩散公式。该系列博客分为两部分,本文为第一部分。今天,我们将简要回顾该理论,并重点介绍 COMSOL 软件半导体模块中应用的方程。如果您对该理论的详细内容感兴趣,可以查阅参考文献1。
静电和电荷载流子守恒
首先,我们来回顾一下传统的漂移扩散理论和密度梯度(DG)理论常用的基本方程。在下一节中,我们将讨论它们之间的区别。
半导体器件的物理场仿真包括由电场(漂移)和载流子浓度梯度(扩散)驱动的载流子迁移。电场
(1)
式中,
电荷密度
(2)
式中,q 是基本电荷(C)。
电子和空穴浓度(
(3)
式中,t 是时间(秒);
电子和空穴的电流密度
(4)
式中,
(5)
请注意,在使用半导体模块时,所有能级变量(
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漂移扩散和密度梯度理论的状态方程
传统的漂移扩散理论和密度梯度理论都遵守上面列出的静电和电流守恒定律。它们之间的差异在于电子和空穴气体的状态方程。
在漂移扩散理论中,载流子浓度
(6)
式中,
而在密度梯度理论中,通过量子势
(7)
式中,量子势
密度梯度系数
(9)
式中,
求解策略
对于传统的漂移扩散公式,可以将状态方程(6)代入基本方程(1)~(5)中,求解三个因变量:
对于密度梯度公式,状态方程(7)〜(8)表明了电荷载流子浓度的隐式关系。此时,要引入新的因变量来求解隐式方程。根据参考文献1,我们使用 Slotboom 变量
(10)
此时,可以用 Slotboom 变量表示量子势:
(11)
式中,
然后使用密度梯度公式的基本方程(1)〜(5)和状态方程(7)〜(11)求解五个因变量:
重组率
由于密度梯度理论的状态方程增加了载流子浓度的梯度,平衡浓度不再仅仅是费米能级的函数,因此重组率涉及更复杂的计算(参考文献2)。
对于明确的缺陷,此时,基于准费米能级差的公式计算电子和空穴的复合速率
(12)
式中,
(13)
其中,
直接、俄歇(Auger)和肖克利-雷德-霍尔(SRH)重组的速率表达式可能看起来很像。但是,各种参数的基本定义更为复杂。例如,SRH 重组率
(14)
式中,
此时,电子和空穴的平衡浓度
(15)
式中,
请注意,量子势
(16)
请注意,对载流子浓度 n 和 p 的依赖性,实际上取决于浓度梯度。
Slotboom变量的边界条件
在大多数情况下,Slotboom 变量的边界条件和是简单的自然边界条件(参考文献3):
(17)
在边界代表突变势垒的情况下(例如氧化硅界面),Jin等人在参考文献4 中建议使用 Wentzel–Kramers–Brillouin(WKB)近似来获得边界条件:
(18)
式中,
(19)
式中,
异质结选择
在常规漂移扩散公式中,COMSOL 的半导体模块为异质结提供了两种选择:连续准费米能级 和热电子发射。
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在第一种选择中,我们可以轻松地扩展到密度梯度公式:只需让准费米能级和 Slotboom 变量在异质结上连续即可,这对于拉格朗日行函数是自动的。这模仿了量子力学波函数的连续性质,尽管充其量只能被视为现象学(参考文献1)。
弱形式方程的离散化cn.comsol.com
第二种选择假定热电子发射过程占主导地位,并允许准费米能级和 Slotboom 变量在异质结上不连续。热电子电流密度使用与漂移扩散理论相同的公式,并能得出相似的结果。
结语
本文概述了 COMSOL 半导体模块中的密度梯度方程。应该强调的是,本文仅介绍了密度梯度限制理论,而不是密度梯度隧穿理论(参考文献1)。该应用理论为工程师提供了一种有效的计算方法,可以在工程物理仿真中考虑量子约束的影响。在后续博客文章中,我们将通过三个示例模型来演示这种仿真方法的强大功能。
参考文献
- M.G. Ancona, “Density-gradient theory: a macroscopic approach to quantum confinement and tunneling in semiconductor devices,” Journal of Computational Electronics, vol. 10, p. 65, 2011.
- M.G. Ancona, Z. Yu, R.W. Dutton, P.J. Vande Voorde, M. Cao, and D. Vook, “Density-Gradient Analysis of MOS Tunneling,” IEEE Transactions On Electron Devices, p. 2310, Vol. 47, No. 12, December 2000.
- M.G. Ancona, D. Yergeau, Z. Yu, and B.A. Biegel, “On Ohmic Boundary Conditions for Density-Gradient Theory”, Journal of Computational Electronics 1: 103–107, 2002.
- S. Jin, Y.J. Park, and H.S. Min, “Simulation of Quantum Effects in the Nano-scale Semiconductor Device,” Journal of Semiconductor Technology and Science, vol. 4, no. 1, p. 32, 2004.
延伸阅读
半导体器件中的辐射效应仿真cn.comsol.com
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