运筹学绪论

前言

一、线性规划问题及其数学模型

1.问题的提出

（1）【例1】

（2）【例2】

（3）线性规划的数学模型

（4）线性规划问题模型的假设

2.图解法（两个决策变量）

3.线性规划问题的标准形式

（1）标准形式

（2）如何转化为标准型

4.线性规划问题解的概念

（1）可行解

（2）基

（3）基可行解

（4）可行基

二、线性规划问题的几何意义

1.基本概念

（1）凸集

（2）凸组合

（3）顶点

2.几个定理

（1）【定理1】

（2）【引理1】

（3）【定理2】

（4）【引理2】

（5）【定理3】

3.线性规划的解题思路

运筹学绪论

夫运筹帷幄之中，决胜千里之外。——史记《张良传》

运筹学定义：

大英百科全书：运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学，运筹学为掌管这类系统的人提供决策目标和数量分析的工具。
中国大百科全书：运筹学用数学方法研究经济、民政和国防等部门在内外环境的约束条件下合理分配人力、物力、财力等资源，使实际系统有效运行的技术科学，它可以用来预测发展趋势，指定行动规划或优选可行方案。
辞海：运筹学主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达有关运用、筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分析与计算，做出综合性的合理安排，以达到较经济、较有效地使用人力物力。
中国企业管理百科全书：运筹学应用分析、试验、量化地方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

学科主要分支

规划理论：线性规划、非线性规划、运输问题、整数规划、动态规划、目标规划
图论与网络理论
排队论
存储论
决策论
对策论
……

运筹学模型

特点：模型方法的应用、多学科的综合、系统的整体观念
优点：符号语言、便于交流；事前分析、减少失误；抽象反应实际、突出共性

前言

线性规划是运筹学的一个重要分支。自1947年丹捷格提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域线性规划都可以发挥作用，它已成了现代科学管理的重要手段之一。查恩斯与库伯继丹捷格之后，于1961年提出了目标规划，艾吉利提出了用优先因子来处理多目标问题，使目标规划得到发展。30多年前，斯·姆·李与杰斯开莱尼应用计算机处理目标规划问题，使目标规划在实际应用方面比线性规划更广泛，更为管理者所重视。

线性规划是一种合理利用资源、合理调配资源的应用数学方法。规划就是利用某种数学方法使得有效资源的运用最优化；线性就是用来描述变量之间关系的函数是线性函数。

线性规划部分与目标规划包含内容有：线性规划与单纯形法、对偶理论与灵敏度分析、运输问题、线性目标规划四部分。

一、线性规划问题及其数学模型

1.问题的提出

（1）【例1】

美佳公司计划制造一、二两种家电产品。已知各制造一件使分别占用的设施A,B的台时、调试工序时间及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如表1-1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大。

【表1-1】

项目	一	二	每天可用能力
设备A(h)	0	5	15
设备B(h)	6	2	24
测试工序(h)	1	1	5
利润	2	1

先用 $x_{1},x_{2}$ 分别表示美佳公司制造家电一、二的数量。这时该公司可获得利润为 $(2x_{1}+x_{2})$ 元，令 $z=2x_{1}+x_{2}$ ，因问题中要求获取的利润最大，即 $max$ $z$ 。 $z$ 是该公司能获取的利润的目标值，它是变量 $x_{1},x_{2}$ 的函数，称为目标函数。 $x_{1},x_{2}$ 的取值受到设备A,B和调试工序能力的限制，用于描述限制条件的数学表达式称为约束条件。由此可得【例1】的数学模型：

目标函数 ${\color{Red} max}$ ${\color{Red} z=2x_{1}+x_{2}}$

约束条件 ${\color{Red} s.t.\left\{\begin{matrix} 5x_{1}\leqslant 15(1.1a)\\ 6x_{1}+2x_{2}\leqslant 24(1.1b)\\ x_{1}+x_{2}\leqslant 5(1.1c)\\ x_{1},x_{2}\geqslant 0(1.1d) \end{matrix}\right.}$

（2）【例2】

捷运公司在下一年度的1-4月的4个月内拟租用仓库堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于表1-2.仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表1-3。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用面积和租界期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租界费用最小。

【表1-2（单位： $100m^2$ ）】

月份	1	2	3	4
所需仓库面积	15	10	20	12

【表1-3（单位：元/ $100m^2$ ）】

合同租赁期限	1个月	2个月	3个月	4个月
合同期内的租费	2800	4500	6000	7300

若用变量 $x_{ij}$ 表示捷运公司在第 $i(i=1,\cdots,4)$ 个月初签订的租借期为 $j(j=1,\cdots,4)$ 个月的仓库面积的合同。因5月份起该公司不需要租界仓库，故 $x_{24},x_{33},x_{34},x_{42},x_{43},x_{44}$ 均为0。该公司希望总的租借费用最小，故有如下数学模型：

${\color{Red} max:z=2800(x_{11}+x_{21}+x_{31}+x_{41})+4500(x_{12}+x_{22}+x_{32})+6000(x_{13}+x_{23})+7300x_{14}}$ ${\color{Red} s.t.\left\{\begin{matrix} x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}\geqslant 15\\ x_{12}+x_{13}+x_{14}+x_{21}+x_{22}+x_{23}\geqslant 10\\ x_{13}+x_{14}+x_{22}+x_{23}+x_{31}+x_{32}\geqslant 20\\ x_{14}+x_{23}+x_{32}+x_{41}\geqslant 12\\ a_{ij}\geqslant 0(i=1,\cdots,m;j=1,\cdots,n) \end{matrix}\right.}$

（3）线性规划的数学模型

从上面两例可以看出，它们都属于一类优化问题，它们的共同特征有：

每一个问题都用一组决策变量 $(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这种变量的取值是非负且连续的
要有建模的有关数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值等，并构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或先行不等式来表示
都有一个要求达到的目标，它可用决策变量及其有关的价值系数构成的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化

满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。

一般形式为：

目标函数 ${\color{Red} max(min)}$ ${\color{Red} z=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}(2-1)}$

${\color{Red} s.t.\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\leqslant (=,\geqslant )b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\leqslant (=,\geqslant )b_{2}\\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}\leqslant (=,\geqslant )b_{m}\\ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\geqslant 0 \end{matrix}\right.(2-2)}$

（2-1）称为目标函数； $c_{j}$ 称为价值系数；（2-3）称为约束条件； $a_{ij}$ 称为技术系数； $b_{i}$ 称为限额系数。

紧缩形式为：

${\color{Red} max(min)}$ ${\color{Red} Z=\sum_{j=1}^{n}c_{j}x_{j}}$

${\color{Red} s.t.\left\{\begin{matrix} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\leqslant (=,\geqslant )b_{i}(i=1,2,\cdots,m)\\ x_{j}\geqslant 0(j=1,2,\cdots,n) \end{matrix}\right.}$

矩阵形式为：

${\color{Red} max(min)}$ ${\color{Red} Z=CX}$

${\color{Red} s.t.\left\{\begin{matrix} AX\leqslant (=,\geqslant )b\\ X\geqslant 0 \end{matrix}\right.}$

${\color{Red} X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}}$ 称为决策变量向量； ${\color{Red} C=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})}$ 称为价值系数向量或目标函数系数向量； ${\color{Red} A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}}$ 称为技术系数或约束系数矩阵； ${\color{Red} \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix}}$ 称为资源常数向量或约束右端常数向量。

（4）线性规划问题模型的假设

比例性：是指每个决策变量 $x_{j}(j=1,2,\cdots,n)$ 在约束条件中与在目标函数中数值变化时，按 $x_{j}$ 对应的技术系数 $a_{ij}$ 与价值系数 $c_{j}$ 严格地成比例变化。这里不存在实际经济活动中的边际效用递减效应
可加性：即目标函数的总值是各组成部分值 $(c_{j}x_{j})$ 之和；第 $i$ 个约束关系中各组成部分值 $(a_{ij}x_{j})$ 之和就是第 $i$ 项资源需求总值。决策变量是独立的，决策变量之间不发生关联，且不允许变量之间有交叉。如规划广告预期收益时不能选择看球赛的观众为决策变量 $x_{1}$ ，看电影的观众为决策变量 $x_{2}$ 等
可分性：决策变量的值具有可分性，即允许非整数值
确定性：即 $c_{j},a_{ij},b_{i}$ 都是确定的已知值

可见，线性规划模型是实际经济管理问题的抽象与近似。

2.图解法（两个决策变量）

图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。阴影区域中的每一个点（包括边界点）都是这个线性规划问题的解（称可行解），阴影区域称为可行域。

对一般的线性规划问题，求解结果还可能存在以下几种情况：

唯一解
无穷多最优解（多重最优解，图2-4）
无界解（图2-5）：缺乏必要约束条件
无可行解：有矛盾的约束条件

从图解法可以直观地看到，当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无界凸多边形。若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到；若在两个顶点同时得到最优解，则他们的连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。

图解法虽然简单、直观，但当变量数多于三个以上时，他就无能为力了。后面要介绍另一种方法——单纯形法。为了便于讨论，我们先规定线性规划问题的数学模型的标准形式。

3.线性规划问题的标准形式

（1）标准形式

一般形式

${\color{Red} max}$ ${\color{Red} z=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}}$

${\color{Red} s.t.\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \\x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\geqslant 0 \end{matrix}\right.}$

在标准型中规定约束条件的右端项 ${\color{Red} b_{i}>0}$ ，否则等式两端乘“-1”.当某一个 $b_{i}=0$ ，表示出现退化。

向量和矩阵形式

${\color{Red} max}$ ${\color{Red} z=CX}$

${\color{Red} s.t.\left\{\begin{matrix} \sum_{j=1}^{n}P_{j}x_{j}=b\\ x_{j}\geqslant 0(i=1,2,\cdots,n) \end{matrix}\right.}$

其中， $C=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})$ $X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ , $P_{j}=\begin{pmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$ , $b=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}$ 。

矩阵形式

${\color{Red} max}$ ${\color{Red} z=CX}$

${\color{Red} s.t.\left\{\begin{matrix} AX=b\\ X\geqslant 0 \end{matrix}\right.}$

其中， $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}=(P_{1},P_{2},\cdots,P_{n})$ , $0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ 。

（2）如何转化为标准型

$min$ $z=CX$ $\Rightarrow$ $max$ $z^{'}=-CX$
约束方程为不等式—— $\leqslant$ ：加入非负松弛变量； $\geqslant$ ：减去非负剩余变量（也可称为松弛变量），把不等式转化为等式
取值无约束的变量 $x_{k}$ ，令 $x_{k}=x_{k}^{'}-x_{k}^{''}(x_{k}^{'},x_{k}^{''}\geqslant 0)$

4.线性规划问题解的概念

（1）可行解

满足约束条件的解 $X=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{T}$ 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

（2）基

设A为约束方程组的m*n(m<n)维系数矩阵，其秩为m。B是矩阵A中m*m阶非奇异子矩阵（ $\left | B \right |\neq 0$ ），则称B为线性规划问题的一个基。这就是说，B是由m个线性独立的列向量组成。为不失一般性，可设

$B=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots & a_{mm} \end{pmatrix}=(P_{1},P_{2},\cdots,P_{m})$

称 $P_{i}(i=1,2,\cdots,m)$ 为基向量。与基向量 $P_{i}$ 相应的变量 $x_{j}$ 称为基变量，否则成为非基变量。

因为A的秩为m，且m<n，故它有无穷多个解。假设前m个列向量线性独立，可以得到

${\color{Red} \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}x_{1}+\begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}x_{2}+\cdots+\begin{pmatrix} a_{1m}\\ a_{2m}\\ \vdots \\ a_{mm} \end{pmatrix}x_{m}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a_{1,m+1}\\ a_{2,m+1}\\ \vdots \\ a_{m,m+1} \end{pmatrix}x_{m+1}-\cdots-\begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}x_{n}(2-7)}$

或 ${\color{Red} \sum_{j=1}^{m}P_{j}x_{j}=b-\sum_{j=m+1}^{n}P_{j}x_{j}}$

方程组（2-7）的一个基为

$B=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots & a_{mm} \end{pmatrix}=(P_{1},P_{2},\cdots,P_{m})$

设 $X_{B}$ 是对应于这个基的基变量 $X_{B}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m})^{T}$ 。现若令（2-7）中非基变量 $x_{m+1}=\cdots=x_{n}=0$ ，这时变量的个数等于线性方程的个数。用高斯消去法，求出一个解 ${\color{Red} X=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},0,0,\cdots,0)^{T}}$ 。该解非零分量的数目不大于方程个数m，称X为基解。由此可见，有一个基，就可以求出一个基解。

（3）基可行解

满足非负条件的基解称为基可行解。

（4）可行基

对应于基可行解的基，称为可行基。约束方程组（2-2）具有基解的数目最多为 $\binom{n}{m}$ 个。一般基可行解的数目要小于基解的数目。注意，基解中的非零分量的数目小于m个时，该基解是退化的。

二、线性规划问题的几何意义

1.基本概念

（1）凸集

设 $K$ 是 $n$ 维欧氏空间的一点集，若任意两点 $X^{(1)}\epsilon K,X^{(2)}\epsilon K$ 的连线上的所有点 $\alpha X^{(1)}+(1-\alpha )X^{(2)}\epsilon K,(0\leq \alpha \leq 1)$ ；则称 $K$ 为凸集。

（2）凸组合

设 $X^{(1)},X^{(2)},\cdots,X^{(k)}$ 是n维欧氏空间 $E^{n}$ 中的k个点。若存在 $\mu_{1},\mu_{2},\cdots,\mu_{k}(0\leqslant \mu_{i}\geqslant 1,i=1,2,\cdots,k;\sum_{i=1}^{k}\mu_{i}=1)$ ，使得 $X=\mu_{1}X^{(1)}+\mu_{2}X^{(2)}+\cdots+\mu_{k}X^{(k)}$ ，则称 $X$ 为 $X^{(1)},X^{(2)},\cdots,X^{(k)}$ 的凸组合（当 $0<\mu_{i}<1$ 时，称为严格凸组合）。

（3）顶点

设 $K$ 是凸集， $X\epsilon K$ ；若K中不存在两个不同的点 $X^{(1)}\epsilon K,X^{(2)}\epsilon K$ 使得 $X=\alpha X^{(1)}+(1-\alpha )X^{(2)},(0< \alpha < 1)$ ，则称 $X$ 为 $K$ 的一个顶点（也成为极点或角点）

2.几个定理

（1）【定理1】

若线性规划问题存在可行域，则其可行域一定是凸集。

（2）【引理1】

线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是正分量所对应的系数列向量是线性独立的。

（3）【定理2】

线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点

（4）【引理2】

设K是有界凸集，则任何一点 $X\epsilon K$ 可表示为K的顶点的凸组合。

（5）【定理3】

若可行域有界，线性规划的目标函数一定可以在可行域的顶点上达到最优。

【注】综合2、3可知，线性规划问题若存在最优解，则最优解一定存在于基本可行解之中。

3.线性规划的解题思路

线性规划问题可以有无数个可行解，而有限个顶点对应的是基本可行解，最优解只可能在顶点（基本可行解）上达到，故只要在有限个基可行解中寻找最优解即可。

思路是：从线性规划问题的一个基本可行解开始，转换到另一个使目标函数值增大的基本可行解。反复迭代，直到目标函数值达到最大时，就得到了最优解。

【运筹学】CH2 线性规划与单纯形法1——线性规划问题及其数学模型相关推荐

线性规划与单纯形法（线性规划、单纯形法、单纯形表、人工变量法）
线性规划与单纯形法文章目录线性规划与单纯形法概念.建模.标准型标准型.基.基解.基可行解.可行基单纯形法单纯形表的应用关于检验数和退化的讨论人工变量法之"大M法" ...
【运筹学】线性规划人工变量法 ( 单纯形法总结 | 人工变量法引入 | 人工变量法原理分析 | 人工变量法案例 )
文章目录一.单纯形法总结二.人工变量法引入三.人工变量法案例四.线性规划标准型五.人工变量法六.人工变量法解分析一.单纯形法总结求解线性规划 , 使用的是单纯形法 ; 迭代转化 : 其 ...
王树尧老师运筹学课程笔记 06 线性规划与单纯形法（几何意义）
第6讲线性规划与单纯形法(几何意义) 线性规划的几何意义图解法线性规划的维度变量可行域维度图像维度 1 x1x_1x1 1(线段) 1 2 x1.x2x_1.x_2x1.x2 2(平 ...
王树尧老师运筹学课程笔记 09 线性规划与单纯形法（单纯形表的应用）
第9讲线性规划与单纯形法(单纯形表的应用) 单纯形表举例见教材P37 2.4 根据检验数σi\sigma_iσi选择进基的变量对于>0>0>0的σi\sigma_iσi, ...
王树尧老师运筹学课程笔记 10 线性规划与单纯形法（关于检测数与退化的讨论）
第10讲线性规划与单纯形法(关于检测数与退化的讨论) 对单纯形表中一些列的理解主要注意的是,在如上图所示的单纯形表中,bbb列和填ai,ja_{i,j}ai,j的列中本质上填的应该是B−1bB^ ...
信奥中的数学：概率论、线性规划之单纯形法
[概率论与数理统计]大学网课 [概率论与数理统计]大学网课_哔哩哔哩_bilibili 惊了!!!这就是隔壁的小学生也能看懂的统计学? 惊了!!!这就是隔壁的小学生也能看懂的统计学?_哔哩哔哩_bil ...
运筹优化学习15：求解线性规划的单纯形法【手把手计算，够你应付考试了，看不懂算我输】
目录 1 理论部分 1.1 单纯形表的要素含义解释 1.2 计算步骤 2 计算示例 2.1 初始单纯形表 2.2 第二次变换 2.3 第三次变换 2.4 第四次变换 3 参考文档本博主研究了一天没有 ...
运筹优化（三）--线性规划之单纯形法
参考:http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/ 1.作用单纯形法是解决线性规划问题的一个有效的算法.线性规划就是在一组线性约束条件下,求解线性目标函数最优 ...
线性规划之单纯形法【超详解+图解】-转载
线性规划之单纯形法[超详解+图解] 目录 1.作用 2.线性规划的一般形式 5.1几何意义 5.2如何判断最优 5.3如何选择新的基变量 5.4如何选择被替换的基变量 5.5终止条件标准型: 转化为 ...
单纯形法 -- 求解线性规划
目前,运用最广的线性规划方法就是著名的单纯形方法.这种方法是G.B.Dantzig在1947年提出的.几十年的实践证明,单纯形方法的确是一种使用方便.行之有效的重要算法.如今,它已经成为线性规划的中心 ...

【运筹学】CH2 线性规划与单纯形法1——线性规划问题及其数学模型

运筹学绪论

前言

一、线性规划问题及其数学模型

1.问题的提出

（1）【例1】

（2）【例2】

（3）线性规划的数学模型

（4）线性规划问题模型的假设

2.图解法（两个决策变量）

3.线性规划问题的标准形式

（1）标准形式

（2）如何转化为标准型

4.线性规划问题解的概念

（1）可行解

（2）基

（3）基可行解

（4）可行基

二、线性规划问题的几何意义

1.基本概念

（1）凸集

（2）凸组合

（3）顶点

2.几个定理

（1）【定理1】

（2）【引理1】

（3）【定理2】

（4）【引理2】

（5）【定理3】

3.线性规划的解题思路

【运筹学】CH2 线性规划与单纯形法1——线性规划问题及其数学模型相关推荐

最新文章

热门文章