comsol固体传热_参与介质中辐射传热的 4 种计算方法

通常，我们用辐射传热方程(radiative transfer equation，RTE)来描述半透明介质中的辐射热量传递过程，但求解该方程的计算成本较大。根据介质的辐射特性，我们可以简化方程，减少计算时间。本文介绍了在 COMSOL Multiphysics 种求解辐射传递方程的 4 种方法以及何时使用这些方法。

什么是辐射传递方程

一束入射光沿方向在参与介质中传播并与介质发生作用。部分光强被部分吸收，为吸收系数；另一部分光沿方向散射，为散射系数。定向传播的光强会因不同方向的散射而衰减，也会被来自不同方向的辐射所增强。因此，这一过程可以用下述方程来描述：

(1)

其中，射线从方向散射到方向的概率用散射相位函数来描述。表示介质在所有方向上的辐射，其中是黑体的强度。

辐射与半透明介质相互作用。

所有这些影响都可以由辐射传递方程描述：

(2)

散射积分的近似值是计算该方程的关键。结合热传递过程，入射辐射可以表示为：

(3)

此外，辐射热通量也很重要，可以表示为：

(4)

用光学厚度或光学深度来表示参与介质的量：

(5)

它描述了介质对辐射的透明性。如果，将介质称为“光学较薄”，如果，则称为“光学较厚”。

4 种计算辐射传递方程的方法

下面，我们介绍 4 种在 COMSOL Multiphysics® 软件中计算辐射传递方程的方法：

离散坐标法(Discrete ordinates method)
P1 近似
Rosseland 近似
比尔-朗伯定律(Beer–Lambert law)

除最后一种方法外，其他 3 种方法属于天体物理学范畴。关于这些方法的详细解释与说明请参考 Modest M F 编著的书《辐射传热》

方法1：离散坐标法

计算辐射传递方程的最常用的方法是离散坐标法。该方法的原理是计算离散方向上的纵坐标分量。因此，仍然需要通过计算每个离散纵坐标上的偏微分方程来求解强度：

(6)

其中，是第ith方向的离散纵坐标，是正交的权重。

默认的SÑ方法使用 N 阶对称正交，并将 3D 角空间在个方向上划分。下图显示了对称偶数正交集和不同阶数的离散坐标 $N%。

S2 到 S12(8–168 个方向)的水平对称偶数正交集的离散坐标。对于大多数应用，默认的 S4 方法已经足够，但是已经为强度引入了 24 个因变量。相对于其他方法，离散坐标法的主要优点是，由于角空间的离散化，因此在任意配置中都具有较高的精度。另外，该方法可以处理各种形式的散射相位函数：各向同性，线性或多项式各向异性以及 Henyey-Greenstein。由于此方法的计算比较耗时，对于复杂的 3D 几何结构，普通计算机的内存往往不够大。因此，我们简要介绍一种简单的调整求解器的方法-性能指标，该指标可用于接口。假设我们需要非常准确的计算结果，并使用 S8 方法，该方法会在模型中添加 80 个额外方程。求解器将这些变量分为多个单独的组，并且在求解器移至下一个组之前，需要在单个迭代步骤中计算每个组。性能指标控制创建的组数。当性能指标为 0(最小值)时，将创建 10 个组，其中每个组包含 8 个强度变量。当性能指标为 1(最大值)时，则每个强度变量将进入一个单独的隔离组中，并且所需的内存仍然较低。这种方法也适用于较大的模型，但是计算时间会增加。使用性能指标来控制求解器。

方法2 ：P1 近似法

P1 近似法不使用离散的坐标，而是基于球面调和函数来离散角度空间。它们是拉普拉斯算子在球坐标系中的特征函数。P1 近似法仅使用了线性项，由此可得出，求解以下方程等效于求解方程式(3)：

(7)

是 P1 扩散系数，可以定义为：

(8)

线性勒让德系数(linear Legendre coefficient)用于散射相位函数。

因此，使用 P1 近似法，可以考虑各向同性和线性各向异性散射。等式左侧的第二项代表辐射热源。因此，仅需要一个附加方程来考虑辐射传输。

方法3：Rosseland 近似法

热通量的传热机可以用傅立叶定律表示：

(10)

回到参与介质中的辐射，在大光学深度的假设下，光传播的行为类似于热传导，等式(10)可以写作下式：

(11)

其中，是具有高度非线性的“辐射传导率”：

(12)

式中，是 Rosseland 平均消光系数，是斯特藩-玻尔兹曼常数(Stefan–Boltzmann constant)。该方法不需要增加额外的方程来计算参与介质中的辐射，仅需要增加一个高度非线性的电导率项，因此计算量较小。但是，这种近似有效的方法具有局限性，仅能求解部分应用问题。在此方法中，辐射仅与温度及其梯度有关，而不考虑其与光源的方向或距离。因此，Rosseland 近似法只适用于具有非常大的光学深度的介质。该方法最早由 Rosseland 开发，适用于恒星大气，也是玻璃工业中广泛使用的方法。由于 Rosseland 近似法为等式(9)增加了一个附加项，因此它可以作为固体特征的扩展应用，称为光学厚参与介质。在具有较大光学深度时，可用于考虑辐射的子节点。

方法4：比尔-朗伯定律

该方法对辐射传递方程作了最大的简化，但是如果满足以下条件，仍然可以得到精确的计算结果：

辐射源为单色直射光束
介质中的折射、反射或散射可以忽略
在入射光束的波长范围内没有发射

在光度测定法和化学成分分析中，就采用了这种方法计算。辐射传热方程可以简化为：

(13)

为光束的方向。

当光束穿过介质时，能量被吸收，辐射热源项可以表述为：

(14)

验证示例：参与介质中的辐射本节我们讨论几个使用上述几种方法的示例，并比较了参与介质的各种属性的结果。

冷却玻璃熔体

我们以一个从 600°C 冷却到 20°C 的玻璃熔体为例，来比较离散纵标法，P1 近似法和 Rosseland 近似法的典型应用。由于高温，这种冷却主要通过辐射发生。冷却 10 秒后，比较温度分布的低吸收系数和高吸收系数。中心线和玻璃板中的温度分布。对于低光学厚度玻璃板，仅使用 Rosseland 近似法是无法求解的。使用 P1 近似法可以得到精确的解。时，中心线和玻璃板中的温度分布。尽管它很简单，Rosseland 逼近似法虽然计算简单，却能得到合理解。此时采用 P1 近似法仍然可以得到精确的解，但准确性低于较小值的情况。

此示例表明，在较大的值范围内，P1 近似法都可以得到精确的解，并且对于光学稀薄介质也可以得到良好的结果；对于壁上存在的较小光学厚度以及较小的值，Rosseland 近似值具有一定的局限性；离散坐标法的计算成本明显更高，计算时间是其他方法的 10 倍。

圆柱体中的散射为了验证 P1 近似法和离散纵标法在不同散射效果和壁特性下的准确性，研究了三种不同情况下的验证模型：

恒定的表面发射率，，具有各向同性散射
径向变化的发射率，，具有各向同性散射
径向变化的辐射率，，具有线性各向异性散射

散射反照率用于参数化模型。情况1：沿径向变化的各向同性散射反照率的入射辐射。情况2：在方位角方向上各向同性散射反照率的入射辐射。情况3：标准化光学厚度沿线性各向异性散射变化的入射辐射。

此示例表明，对于具有较大光学厚度的介质(. )，采用 P1 近似可以得到比较精确的解，与采用离散坐标法的计算结果接近。对于具有较小光学厚度的介质，计算误差较大。尤其对于线性各向异性散射(情况3)，该方法仅能得到近似解。尽管如此，P1 近似仍然是一个很好的近似方法，特别是当我们的计算量较小时。

结语

在本篇博文中，我们讨论的 4 种方法几乎可以计算所有参与介质中的辐射。现在将它们各自的优缺点总结如下：

DOM
- 离散坐标法是最常用的方法，可以对离散方向(最多512个)上的所有辐射传递方程求解，计算结果精度高
- 可以包括各向异性散射的复杂形式
- 计算成本随着离散纵坐标数量的增加而增加
P1 近似法
- 对于辐射传播的方向不占主导地位的许多配置，都可以得到精确的结果
- 只包括各向同性和线性各向异性散射方程
- 仅需要增加一个额外的标量方程，计算成本低
Rosseland 近似法
- 适用于具有大光学深度的介质，可以得到精确的结果
- 忽略散射的影响
- 在热传递方程中使用辐射传导率，计算成本低
比尔-朗伯定律
- 适用于理想条件下的介质，计算结果精确
- 应用范围狭窄
- 计算成本低

推荐阅读

COMSOL 免费开放 15 个专题培训视频资料

多孔介质中的热平衡与热非平衡传热

电厂锅炉设计中的辐射传热仿真分析

流体动力学热输运——利用 COMSOL 在纳米尺度上进行传热建模

流体动力学中的传热分析

本文内容来自 COMSOL 博客，点击“”，延伸文章。