【运筹学】线性规划 人工变量法 ( 单纯形法总结 | 人工变量法引入 | 人工变量法原理分析 | 人工变量法案例 )
文章目录
- 一、单纯形法总结
- 二、人工变量法引入
- 三、人工变量法案例
- 四、线性规划标准型
- 五、人工变量法
- 六、人工变量法解分析
一、单纯形法总结
求解线性规划 , 使用的是单纯形法 ;
迭代转化 : 其将 在无穷多个可行解中迭代 , 转化为了 在有限个基可行解中进行迭代 ;
单纯形法理论基础 : 将迭代范围由大集合转为小集合 , 不会漏掉最优解 , 根据线性规划定理 , 只要有最优解 , 该最优解一定是基可行解 ;
单纯形法求解流程 :
- ① 找到单位阵
- ② 最优准则 : 计算检验数
- ③ 迭代准则 : 先根据检验数找到入基变量 , 再根据常量除以入基变量大于 000 系数 , 选择小的值对应的基变量作为出基变量 ;
- ④ 中心元 : 找到 入基变量 与 出基变量 交叉点元素 , 这是中心元 , 中心元转为 111 , 同一列另一个系数转为 000 ; 然后继续根据最优准则计算检验数 , 转到步骤 ② ;
二、人工变量法引入
上述单纯形的解法是 从单位阵出发的 , 所有的前提是有单位阵 , 线性规划中可能不存在单位阵 , 如果线性规划转化为单位阵时 , 没有单位阵 , 就需要使用 人工变量法 , 构造一个单位阵 ;
下面通过一个案例来介绍人工变量法的使用 ;
三、人工变量法案例
求解线性规划 : 使用人工变量法求解线性规划 ;
maxZ=3x1+2x2−x3s.t{−4x1+3x2+x3≥4x1−x2+2x3≤10−2x1+2x2−x3=−1xj≥0(j=1,2,3)\begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 2x_2 - x_3 \\ \\ s.t\begin{cases} -4 x_1 + 3x_2 + x_3 \geq 4 \\\\ x_1 - x_2 + 2x_3 \leq 10 \\\\ -2x_1 + 2x_2 - x_3 = -1 \\\\ x_j \geq 0 & (j = 1 , 2 , 3 ) \end{cases}\end{array}maxZ=3x1+2x2−x3s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−4x1+3x2+x3≥4x1−x2+2x3≤10−2x1+2x2−x3=−1xj≥0(j=1,2,3)
四、线性规划标准型
参考 【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) 线性规划 普通形式 -> 标准形式 转化顺序说明 博客 , 先处理变量约束 , 再将不等式转为等式 , 最后更新目标函数 ;
1 . 处理约束变量 : 所有的约束变量都大于等于 000 , 这里无需处理 ;
2 . 将不等式转为等式 :
① 方程 111 转为等式 : 方程 111 是大于等于不等式 , 需要在方程左侧减去剩余变量 x4x_4x4 ;
−4x1+3x2+x3−x4=4-4 x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 = 4−4x1+3x2+x3−x4=4
② 方程 222 转为等式 : 方程 222 是小于等于不等式 , 需要在方程左侧加上松弛变量 x5x_5x5 ;
x1−x2+2x3+x5=10x_1 - x_2 + 2x_3 + x_5 = 10x1−x2+2x3+x5=10
3 . 方程 333 转为符合要求的等式 : 方程 333 是等式 , 但是其右侧的常数小于 000 , 这里需要在等式两边都乘以 −1-1−1 , 使右侧的常数大于等于 000 ;
2x1−2x2+x3=12x_1 - 2x_2 + x_3 = 12x1−2x2+x3=1
4 . 处理目标函数取最大值 : 目标函数就是取最大值 , 无需处理 ;
5 . 最终的标准形结果是 :
maxZ=3x1+2x2−x3s.t{−4x1+3x2+x3−x4=4x1−x2+2x3+x5=102x1−2x2+x3=1xj≥0(j=1,2,3,4,5)\begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 2x_2 - x_3 \\ \\ s.t\begin{cases} -4 x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 = 4 \\\\ x_1 - x_2 + 2x_3 + x_5 = 10 \\\\ 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \\\\ x_j \geq 0 \quad (j = 1 , 2 , 3, 4, 5 ) \end{cases}\end{array}maxZ=3x1+2x2−x3s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−4x1+3x2+x3−x4=4x1−x2+2x3+x5=102x1−2x2+x3=1xj≥0(j=1,2,3,4,5)
五、人工变量法
将上述转化完毕的标准型的系数矩阵补全 :
maxZ=3x1+2x2−x3+0x4+0x5s.t{−4x1+3x2+x3−x4+0x5=4x1−x2+2x3+0x4+x5=102x1−2x2+x3+0x4+0x5=1xj≥0(j=1,2,3,4,5)\begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 0x_4 + 0x_5 \\ \\ s.t\begin{cases} -4 x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 + 0x_5 = 4 \\\\ x_1 - x_2 + 2x_3 + 0x_4 + x_5 = 10 \\\\ 2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 = 1 \\\\ x_j \geq 0 \quad (j = 1 , 2 , 3, 4, 5 ) \end{cases}\end{array}maxZ=3x1+2x2−x3+0x4+0x5s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−4x1+3x2+x3−x4+0x5=4x1−x2+2x3+0x4+x5=102x1−2x2+x3+0x4+0x5=1xj≥0(j=1,2,3,4,5)
上述约束方程中没有单位阵 , 无法找到初始基可行解 , 创建初始的单纯形表 ;
上述线性规划中 , 需要找到 3×33 \times 33×3 的单位阵 (100010001)\begin{pmatrix} \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad \\ \end{pmatrix}⎝⎛100010001⎠⎞ , 目前只有 x5x_5x5 的系数列向量是 (010)\begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 1 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \end{pmatrix}⎝⎛010⎠⎞ , 这里需要进行如下操作 ;
人工变量法 : 目的是人为制造单位阵 , 添加 222 个或 333 个人工变量 ;
- 方程 111 构造变量 x6x_6x6 : 该变量只出现在第 111 个方程中 ;
−4x1+3x2+x3−x4+0x5+x6=4-4 x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 + 0x_5 + x_6 = 4−4x1+3x2+x3−x4+0x5+x6=4
- 方程 222 构造变量 x7x7x7 : 该变量只出现在第 333 个方程中 ;
2x1−2x2+x3+0x4+0x5+x7=12x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 + x_7 = 12x1−2x2+x3+0x4+0x5+x7=1
添加了人工变量后 , 变量就变成了 777 个 (x1x2x3x4x5x6x7)\begin{pmatrix} \quad x_1 \quad \\ \quad x_2 \quad \\ \quad x_3 \quad \\ \quad x_4 \quad \\ \quad x_5 \quad \\ \quad x_6 \quad \\ \quad x_7 \quad \\ \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛x1x2x3x4x5x6x7⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ , 原来的变量只有 555 个 (x1x2x3x4x5)\begin{pmatrix} \quad x_1 \quad \\ \quad x_2 \quad \\ \quad x_3 \quad \\ \quad x_4 \quad \\ \quad x_5 \quad \\ \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎛x1x2x3x4x5⎠⎟⎟⎟⎟⎞ ; 如果解出该线性规划的 777 个解 , 去掉后面的 x6,x7x_6 , x_7x6,x7 之后 , 该最优解不一定满足 555 个变量的线性规划 ;
如果解出的 777 个解中 , x6,x7x_6 , x_7x6,x7 都等于 000 , 此时该最优解的前 555 个变量 , 满足最初的线性规划解 ;
引入大 MMM : 在目标函数中 , 为 x6,x7x_6 , x_7x6,x7 加上系数 −M-M−M , MMM 是一个抽象数值 , 没有具体的值 , 其大于给定的任何一个值 ;
maxZ=3x1+2x2−x3+0x4+0x5−Mx6−Mx7max Z = 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 0x_4 + 0x_5 - M x_6 - Mx_7maxZ=3x1+2x2−x3+0x4+0x5−Mx6−Mx7
引入大 MMM 后最优解 x6,x7x_6 , x_7x6,x7 必须为 000 : 如果上述 x6,x7x_6 , x_7x6,x7 只要大于 000 , 即使很小 , 但是乘以一个很大的负数值 −M-M−M , 也会极大降低目标函数大小 , 因此只有两个变量取值为 000 时 , 才能使该解称为最优解 ;
添加 222 个人工变量后 , 得到 人工变量单纯形法 线性规划模型 :
maxZ=3x1+2x2−x3+0x4+0x5−Mx6−Mx7s.t{−4x1+3x2+x3−x4+0x5+x6+0x7=4x1−x2+2x3+0x4+x5+0x6+0x7=102x1−2x2+x3+0x4+0x5+0x6+x7=1xj≥0(j=1,2,3,4,5,6,7)\begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 0x_4 + 0x_5 - M x_6 - Mx_7 \\\\ s.t\begin{cases} -4 x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 + 0x_5 + x_6 + 0x_7 = 4 \\\\ x_1 - x_2 + 2x_3 + 0x_4 + x_5 + 0x_6 + 0x_7 = 10 \\\\ 2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 + 0x_6 + x_7 = 1 \\\\ x_j \geq 0 \quad (j = 1 , 2 , 3, 4, 5 , 6 , 7 ) \end{cases}\end{array}maxZ=3x1+2x2−x3+0x4+0x5−Mx6−Mx7s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−4x1+3x2+x3−x4+0x5+x6+0x7=4x1−x2+2x3+0x4+x5+0x6+0x7=102x1−2x2+x3+0x4+0x5+0x6+x7=1xj≥0(j=1,2,3,4,5,6,7)
其中的 MMM 是一个很大的数值 , 没有具体的值 , 可以理解为正无穷 +∞+\infty+∞ , 具体使用单纯形法进行计算时 , 将其理解为大于给出的任意一个确定的数值 ;
六、人工变量法解分析
原来的线性规划称为 LPLPLP , 添加了人工变量后的新线性规划为 LPALPALPA ;
目标函数值有限 : 只要 LPLPLP 线性规划 , 可行域不为空集 ∅\varnothing∅ , 那么 LPALPALPA 线性规划一定能找到一个解 xxx , 使得 f(x)f(x)f(x) 是一个有限的数 , 该有限的数是与 负无穷 −∞-\infty−∞ 进行对比区分的 ;
只要 LPLPLP 线性规划 有可行解 , 那么 LPALPALPA 线性规划中的目标函数一定不是 负无穷 −∞-\infty−∞ ;
两个线性规划解的关系 : (x0)\begin{pmatrix} \quad x_0 \quad \\ \end{pmatrix}(x0) 是线性规划 LPLPLP 的可行解 , (x000)\begin{pmatrix} \quad x_0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \end{pmatrix}⎝⎛x000⎠⎞ 一定是 LPALPALPA 线性规划的可行解 , 将该解代入目标函数 , 目标函数一定是一个有限的数 , 不是负无穷 −∞-\infty−∞ ;
解 LPALPALPA 线性规划 : 构造的 LPALPALPA 辅助线性规划问题有单位阵 , 选取该单位阵为可行解 , 得到基可行解 , 然后开始进行迭代 ;
只要线性规划有初始基可行解 , 那么只可能有以下情况
- ① 有最优解
- ② 没有最优解
最优解情况 : 在有最优解的前提下 ;
- ① 如果人工变量等于 000 , 将人工变量去掉 , 剩余的解就是原来线性规划 LPLPLP 的最优解 ;
- ② 如果有一个或多个人工变量大于 000 , 那么说明 原线性规划 LPLPLP 没有可行解 ;
没有最优解的情况 :如果 LPALPALPA 线性规划没有最优解 , 那么 LPLPLP 线性规划也没有最优解 ;
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