第10讲 线性规划与单纯形法（关于检测数与退化的讨论）

对单纯形表中一些列的理解

主要注意的是，在如上图所示的单纯形表中，bbb列和填ai,ja_{i,j}ai,j​的列中本质上填的应该是B−1bB^{-1}bB−1b和B−1AB^{-1}AB−1A，只是在之前的情况下中BBB是单位矩阵。

对检测数的讨论

检验数的计算方法为σi=ci−cBB−1pi=ci−zi\sigma_{i}=c_{i}-c_{B} B^{-1} p_{i}=c_{i}-z_{i}σi​=ci​−cB​B−1pi​=ci​−zi​。而对于其他教材可能将σi\sigma_{i}σi​定义为σi\sigma_{i}σi​=zi−ci=z_{i}-c_{i}=zi​−ci​，但其本质上是一样的，只是判断σi\sigma_{i}σi​符号和大小时恰好相反。同时如果要求解的最优化问题是对目标函数求minminmin，也只需要在判断σi\sigma_{i}σi​时，用符号和大小相反的规则即可。简要来说取得最优解时对检验数的正负性要求如下表所示：

maxZmaxZmaxZ minZminZminZ
ci−zic_{i}-z_{i}ci​−zi​ ≤0\le0≤0 ≥0\ge0≥0
zi−ciz_{i}-c_{i}zi​−ci​ ≥0\ge0≥0 ≤0\le0≤0

如果在某轮迭代，有两个及以上相同的最大的检验数，则其给目标函数带来的收益相同，可以选择其对应的任意一个向量作为入基向量。

对θ\thetaθ的讨论

如果在某轮迭代，有两个及以上相同的最小的θ\thetaθ，出现“退化”情况，大部分情况下可以选择其对应的任意一个向量作为出基向量，但是有些时候会出现循环运算。

当标准型中bi=0b_i=0bi​=0时，可能出现“退化”情况。

解决方法： 在相同的最小的θ\thetaθ中，选择下标最小的决策变量作为出基变量，就不会出现循环运算。

总结

在单纯形表中，bbb列和填ai,ja_{i,j}ai,j​的列中本质上填的应该是B−1bB^{-1}bB−1b和B−1AB^{-1}AB−1A。

对于不同检验数的定义和求minminmin或maxmaxmax的不同，对检验数的判断法则也不同。

如果在某轮迭代，有两个及以上相同的最大的检验数，则其给目标函数带来的收益相同，可以选择其对应的任意一个向量作为入基向量。

如果在某轮迭代，有两个及以上相同的最小的θ\thetaθ，则选择下标最小的决策变量作为出基变量，就不会出现循环运算。

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