1 理论部分

1.1 单纯形表的要素含义解释

1.2 计算步骤

2 计算示例

2.1 初始单纯形表

2.2 第二次变换

2.3 第三次变换

2.4 第四次变换

3 参考文档

本博主研究了一天没有搞明白，幸得大神指点迷津，现将学习过程记录如下

1 理论部分

1.1 单纯形表的要素含义解释

1.2 计算步骤

1.3 黄丽娟老师的课件

初始单纯形表

计算检验数：

计算换出比率：

得到主元：

做初等行变换：

2 计算示例

$& max z=2x_{1}+3x_{2} \\ & x_1 + 2x_2 \leq 8 \\& 4x_1 \leq 16 \\ &4x_2 \leq 12$

2.1 初始单纯形表

【敲黑板：单位矩阵的检验数一定是0；单位矩阵对应的变量为基变量】

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
0	$x_3$	8	1	2	1	0	0	4
0	$x_4$	16	4	0	0	1	0	-
0	$x_5$	12	0	4	0	0	1	3
$\sigma _j$		0	2	3	0	0	0

检验数的计算：

$\sigma _1 =& c_1 - (C_1*a_{11} + C_2 * a_{12} + C_3 * a_{13}) =2 - (0 * 1 + 0 * 4 + 0 * 0) = 2$

$\sigma _2 =& c_2 - (C_1*a_{12} + C_2 * a_{22} + C_3 * a_{32}) =3 - (0 * 2 + 0 * 0 + 0 * 4) = 3$

依次计算所有的检验数，选择其中检验数最大的变量作为入基变量，即 $x_2$

分别计算b列与 $a_{i2}$ 列的比值，得到换入变量比率；

计算过程：

$\theta _1 = b_1 / a_{12} = 8/2 = 4$

$\theta _2 = b_2 / a_{22} = 8/0 = [-]$ 【分母为负数或0，比率用 - 标记】

$\theta _3 = b_3 / a_{32} = 12/4 = 3$

取比率最小值的 $x_5$ 作为换出变量

因此我们确定出入基变量为 $x_2$ 和出基变量 $x_5$

2.2 第二次变换

要把系数矩阵中的 $x_3,x_4,x_2$ 变换成单位矩阵

在初始单纯形表的基础上，

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
0	$x_3$	8	1	2	1	0	0
0	$x_4$	16	4	0	0	1	0
0	$x_5$	12	0	4	0	0	1
$\sigma _j$

确定主元列为 $x_2$ ，更新入基变量的 $C_B$ 值；然后，将主元列化为单位向量，执行如下两步变换：

第三行 * （-1/2）加到第一行，得到变换后的第一行；
第三行 * （1/4)

得到更新后的单纯形表，

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
0	$x_3$	2	1	0	1	0	-1/2
0	$x_4$	16	4	0	0	1	0
3	$x_2$	3	0	1	0	0	1/4
$\sigma _j$

重新计算检验数和价值比率

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
0	$x_3$	2	1	0	1	0	-1/2	2
0	$x_4$	16	4	0	0	1	0	4
3	$x_2$	3	0	1	0	0	1/4	-
$\sigma _j$			2	0	0	0	-3/4

计算两个检验数：

$\sigma_{1} = c_1 - (C_1 * a_{11} + C_2 * a_{12} + C_3 * a_{13}) = 2 - (0 * 1 + 0 * 4 + 0 * 0) = 2$

$\sigma_{5} &= c_5 - (C_1 * a_{15} + C_2 * a_{25} + C_3 * a_{35}) \\&= 0 - (0 * (-1/2)) + 0 * 0 + 3 * 1/4) \\&= -3/4$

存在正检验数，需要继续计算换入比率

计算换入比率：

$\theta _1 = b_1 / a_{11} = 2/1 = 2$

$\theta _2 = b_2 / a_{21} = 16/4 = 4$

$\theta _3 = b_3 / a_{31} = 3/0 = [-]$ 【分母为负数或0，比率用 - 标记】

确定入基变量为 $x_1$ 和出基变量为 $x_3$

2.3 第三次变换

更新 $C_B$ ，将主元列化为单位向量

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
2	$x_1$	2	1	0	1	0	-1/2
0	$x_4$	16	4	0	0	1	0
3	$x_2$	3	0	1	0	0	1/4	-
$\sigma _j$

只需变换 $x_4$ 这一行即可【第一行 * （-4）加到第二行上】：

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
2	$x_1$	2	1	0	1	0	-1/2	-
0	$x_4$	8	0	0	-4	1	2	4
3	$x_2$	3	0	1	0	0	1/4	12
$\sigma _j$			0	0	-2	0	1/4

计算检验数：

$\sigma_{3} = c_3 - (C_1 * a_{13} + C_2 * a_{23} + C_3 * a_{33}) = 0 - (2 * 1 + 0 * (-4) + 3 * 0) = -2$

$\sigma_{5} = c_5 - (C_1 * a_{15} + C_2 * a_{25} + C_3 * a_{35}) = 0 - (2 * (-1/2) + 0 * 2 + 3 * (1/4)) = 1/4$

存在正检验数，继续计算换入比率：

$\theta _1 = b_1 / a_{15} = 2/(-1/2) = [-]$ 【分母为负数或0，比率用 - 标记】

$\theta _2 = b_2 / a_{25} = 8/2 = 4$

$\theta _3 = b_3 / a_{35} = 3*(1/4) = 12$

确定入基变量 $x_5$ 和出基变量 $x_4$

2.4 第四次变换

更新 $C_B$ ，将主元列化为单位向量：

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
2	$x_1$	2	1	0	1	0	-1/2
0	$x_5$	8	0	0	-4	1	2
3	$x_2$	3	0	1	0	0	1/4
$\sigma _j$

变换步骤：

第二行 / 2
第二行 * 1/2 加到第一行
第二行 * (-1/4) 加到第三行

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
2	$x_1$	4	1	0	0	1/4	0
0	$x_5$	4	0	0	-2	1/2	1
3	$x_2$	2	0	1	1/2	-1/8	0
$\sigma _j$

计算检验数：

$c_j$			2	3	0	0	0	$\theta_{j}$
$C_B$	基	b	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$\theta_{j}$
2	$x_1$	4	1	0	0	1/4	0
0	$x_5$	4	0	0	-2	1/2	1
3	$x_2$	2	0	1	1/2	-1/8	0
$\sigma _j$			0	0	-3/2	-1/8	0

$\sigma_{3} = c_3 - (C_1 * a_{13} + C_2 * a_{23} + C_3 * a_{33}) = 0 - (2 * 0 + 0 * (-2) + 3 * (1/2) = -3/2$

$\sigma_{4} = c_4 - (C_1 * a_{14} + C_2 * a_{24} + C_3 * a_{34}) = 0 - (2 * (1/4) + 0 * 1 + 3 * (-1/8)) = -1/8$

所有检验数为负数，得到最优解

目标函数值为：

$z = 2 * 4 + 3 * 2 = 14$

2.4 软件求解

3 参考文档

单纯形法的计算步骤

线性规划之单纯形法【超详解+图解】

运筹学课件单纯形法的计算步骤

运筹学单纯形法计算步骤.pptx

单纯形法例题详解

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2.1 初始单纯形表

2.2 第二次变换

2.3 第三次变换

2.4 第四次变换

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