Wilcoxon signed-rank test and U-statistics

Wilcoxon signed-rank是一种非参数检验的统计量，用于检验对称分布的均值是否为0。给出iid数据 Y 1 , ⋯ , Y n Y_1,\cdots,Y_n Y1,⋯,Yn， Z j = s i g n ( Y j ) Z_j = sign(Y_j) Zj=sign(Yj)， R j R_j Rj为 Z j Z_j Zj的秩(rank). Wilcoxon signed-rank statistics定义为：

W = ∑ j Z j R j W=\sum_{j} Z_{j} R_{j} W=j∑ZjRj

并且可以得到其均值为0，方差为 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) / 6 n(n + 1)(2n + 1)/6 n(n+1)(2n+1)/6。
事实上， W W W和 U U U统计量有很直接的联系。而 U U U统计量有很好的性质：

If E h 2 ( X 1 , … , X r ) < ∞ , \mathrm{Eh}^{2}\left(X_{1}, \ldots, X_{r}\right)<\infty, Eh2(X1,…,Xr)<∞, then n ( U − θ − U ^ ) → P 0. \sqrt{n}(U-\theta-\hat{U}) \stackrel{P}{\rightarrow} 0 . n (U−θ−U^)→P0. Consequents,
the sequence n ( U − θ ) \sqrt{n}(U-\theta) n (U−θ) is asymptotically normal with mean 0 and variance r 2 ζ 1 , r^{2} \zeta_{1}, r2ζ1, where. with X 1 , … , X r , X 1 ′ , … , X r ′ X_{1}, \ldots, X_{r}, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{r}^{\prime} X1,…,Xr,X1′,…,Xr′ denoting i.i.d. variables.
ζ 1 = cov ⁡ ( h ( X 1 , X 2 , … , X r ) , h ( X 1 , X 2 ′ , … . X r ′ ) ) \zeta_{1}=\operatorname{cov}\left(h\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{r}\right), h\left(X_{1}, X_{2}^{\prime}, \ldots . X_{r}^{\prime}\right)\right) ζ1=cov(h(X1,X2,…,Xr),h(X1,X2′,….Xr′))

其中 U ^ \hat{U} U^是一个projection，这里不细说。利用这里的结论我们可以知道 W W W是渐进正态分布分的。显然根据上面的方差计算我们知道
3 n 3 W n → D N ( 0 , 1 ) \sqrt{\frac{3}{n^3}}W_n\overset{D}{\to}N(0,1) n33 Wn→DN(0,1)

下面是用R代码做的一个简单模拟，可以看到其渐进正态性表现得不错。

library(ggplot2)
set.seed(1234)
N=10000
n = 1000
W = rep(0,N)
for(j in 1:N)for(i in 1:n){W[j] = W[j] + i*(2*rbinom(1,1,0.5)-1)}Z = W/sqrt(n^3/3)
ggplot() + geom_histogram(aes(Z),stat = "bin",bins = 30)
qqnorm(Z)

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