题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

思路

设dp为大小为 m x n的矩阵，dp[i][j]代表直到走到(i,j)这个点的最小路径和
题目要求，只能向右或向下走，换句话说，当前单元格 (i,j) 只能从左方单元格 (i-1,j)(i−1,j) 或上方单元格 (i,j-1)走到，因此只需要考虑矩阵左边界和上边界。
那么，走到当前单元格 (i,j)的最小路径和 == “从左方单元格 (i,j-1) 与从上方单元格 (i-1,j) 走来的两个最小路径和中较小的 ” + 当前单元格值 grid[i][j] 。具体分为以下 4 种情况：

当左边和上边都不是边界，即i≠0, j≠0, dp[i][j]=min(dp[i][j-1], dp[i-1][j])
当左边是边界, 也就是只能从上边走过来, dp[i][j]=dp[i-1][j]
当右边是边界，也就是只能从左边走过来, dp[i][j]=dp[i][j-1]
当左、上都是边界，即当i=j=0，也就是起点, dp[i][j]=grid[i][j]

空间优化：
其实我们完全不需要建立 dpdp 矩阵浪费额外空间，直接遍历 grid[i][j]修改即可。这是因为：grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j] ；原 grid矩阵元素中被覆盖为 dp 元素后（都处于当前遍历点的左上方），不会再被使用到。

代码实现(py3)

class Solution:def minPathSum(self, grid: [[int]]) -> int:for i in range(len(grid)):for j in range(len(grid[0])):if i == j == 0: continueelif i == 0:  grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j]elif j == 0:  grid[i][j] = grid[i - 1][j] + grid[i][j]else: grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j]return grid[-1][-1]

复杂度分析
1.时间复杂度 O(M×N) ：遍历整个 grid矩阵元素。
2.空间复杂度 O(1) ：直接修改原矩阵，不使用额外空间。

解答参考

作者：jyd
链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum/solution/zui-xiao-lu-jing-he-dong-tai-gui-hua-gui-fan-liu-c/
来源：力扣（LeetCode）

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代码实现(py3)

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