机器人学之动力学笔记【9】—— 牛顿-欧拉 递推动力学方程
机器人学之动力学笔记【9】—— 牛顿-欧拉 递推动力学方程
- 1. 定义线加速度
- 2. 定义角加速度
- 3. 推导线加速度
- 4. 推导角加速度
- 5. 质量分布(Mass Distribution)
- 6. 牛顿-欧拉递推动力学方程
- 6.1 外推法——计算速度和加速度
- 6.1.1 角加速度传递（旋转关节）
- 6.1.2 线加速度传递（旋转关节）
- 6.1.3 角加速度、线加速度传递（移动关节）
- 6.1.4 连杆质心的线加速度
- 6.2 牛顿-欧拉方程
- 6.3 内推法——计算力和力矩
- 7. 补充说明
1. 定义线加速度
和之前一样，速度是位置的微分
把得到的速度表达在另一个坐标系下面
这里，加速度是速度的微分
把得到的加速度表达在另一个坐标系下面
{c} frame 的原点对地的加速度就简化表达成 ac
2. 定义角加速度
线速度线加速度有这样的关系之外，角速度角加速度也有这样的对应关系，角速度的微分就是角加速度
简化表达，针对某个 frame {C}，它的旋转状态如果是对地的，就可以简化写为
3. 推导线加速度
由前面所学，知道A点对地的速度 = B点对地的速度 + 由B点看到A点的速度 + B所在坐标系在旋转过程中造成的向量 r(a对b) 的变化
对上边式子作微分
合并项之后，整理得
A点的加速度 = B点的加速度 + B相对于A看不到的部分，切向加速度（角加速度与r的叉积） + 法向加速度 + 人站在B坐标上看到的相对加速度 + 科式力
对应到机器人学中
4. 推导角加速度
{C} 对 {A} 的角速度 = {B} 对 {A} 的角速度 + {C} 对 {B} 的角速度（又因为在相加计算的过程中要转到同一个 frame 下，所以 {C} 对 {B} 的角速度前还要乘上一个旋转矩阵）
对这个式子作微分，这里 {C} 对 {B} 的部分有两个项，遵循前导乘后 + 前乘后导的原则，那对旋转矩阵求导是什么呢？
依照之前的想法，我们知道旋转矩阵是由三个单位向量所组成的，这三个单位向量互相正交，对旋转矩阵求导，相当于对三个单位向量求导，之前学过，对单位向量求导，它的长度不会变化，变化的只是它的方向。由于这里是旋转矩阵，所以单位向量的变化基本取决于整个坐标系旋转的状态，因此，{B} 对 {A} 的旋转矩阵的倒数 = {B} 对 {A} 的角速度与旋转矩阵本身的叉积。（如红框部分所示）
5. 质量分布(Mass Distribution)
相对于 frame {A} 的惯性张量
惯性张量本身的特性：
是常实对称矩阵，在数学上是可正交对角化的
对角线元素之和为定值
如果刚体的本身存在某个对称面，这个对阵面上下的值就会是零
在算惯性矩阵的时候，必须要有转轴
平行轴定理：
6. 牛顿-欧拉递推动力学方程
【大学物理知识回顾】
转动惯量 J 由刚体的各个质元相对于固定转轴的分布决定，与物体的运动以及所受的外力无关，是用于描述刚体相对于确定转轴特征的物理量。
动量 P=mv ，动量的变化量是合外力；
角动量L=Jw ，角动量的变化量是定轴转动刚体所受的力矩
下图所示是机械手臂中杆件的一节
杆件有加速度，必须受到惯性力F，杆件要转动，必须要受到扭矩N；
- 针对移动的部分，牛顿运动方程；
线动量的变化量等于外力，牛顿第二运动定律； - 针对转动的部分，欧拉方程；
角动量的变化量等于力矩；
这里要特别小心 I 定义的 frame，因为在不同的 frame 下面，I 的定义会不一样；和之前相反，我们不希望 I 定义在地坐标系下面，杆件在空间中是运动的，地坐标系不动，就等于说这个杆件以地坐标系来看的话，它和地坐标系之间的相对距离一直变动，所以它的 I 以地坐标来看的话就一直变动，这样取倒数的时候就需要考虑 I的倒数，会使欧拉方程的求解变的复杂。
通常情况下我们会在质心的位置定义坐标系，由于这个坐标系与这个杆件固连，所以 I 不变
推导后的力矩由两项组成，第一项就是杆件的角加速度造成的，注意这里的 I 是对于建立在质心处的坐标系而言的，还有一部分就是由于系统的角速度造成的。
在 frame {i} 中表达连杆 i 的线加速度和角加速度，并且找到相邻连杆之间的线加速度以及角加速度关系。
6.1 外推法——计算速度和加速度
6.1.1 角加速度传递（旋转关节）
我们知道相邻两连杆间角速度关系如下，求导得：
坐标系转化
6.1.2 线加速度传递（旋转关节）
i+1 杆件的线加速度 = i 杆件的线加速度 + 切向加速度 + 法向加速度（还应该有两项科式力和相对的加速度，要是仔细看的话会发现，该式子是为了找到 {i+1}杆件 frame 的原点相对于 {i}杆件 frame 原点的加速度，而{i+1} 旋转时并不改变原点的位置，所以后边两项就没有了）
坐标系转化
6.1.3 角加速度、线加速度传递（移动关节）
6.1.4 连杆质心的线加速度
除了上述的坐标原点的状态，连杆质心（COM）的状态也会用到，因为算惯性力的时候，就必须要算这个link 的COM的加速度是多少，我们才有办法借由这个加速度乘上质量m得到这个杆件受到的外力是多少（COM点在连杆的中部）
6.2 牛顿-欧拉方程
在找到了杆件和杆件之间加速度的关系后，现在要怎么跟力矩做一个连接？前面通过外推法计算出每个连杆质心的线加速度和角加速度后，运用牛顿-欧拉公式便可计算出作用在连杆质心上的惯性力和力矩：
假设 link(i) 有一个运动，那么基本上杆件所受的合力就等于运动的加速度乘上它的质量；
假设这个杆件有一个角加速度和角速度，假设也知道这个惯性张量对COM来看是已知的话，所受的外力矩就等于上述式子。
6.3 内推法——计算力和力矩
上面计算出每个连杆上的力和力矩后，我们就要计算出产生这些力和力矩的需要施加在关节上的关节力矩。
有了这个想法之后就可以分别来看力和力矩的状态。
以力的状态来说，力是由末端点往回算的（手臂末端点受到力，后面有力就代表前面关节都要承受住这个力，这个是和速度相反，速度是地的 link 不动，随着 link 往前增加，后面的 link 都要承载前面 link 的运动，然后再产生一个新的相对继续往后算）
将作用在连杆i ii上所有的力相加，得到力平衡方程：
frame {i} 所需要的力 = {i+1} 这个 frame 的力 + 让 {i} 本身产生运动所需要的惯性力
将所有作用在质心上的力矩相加，得到力矩平衡方程：
力矩是建立在相似的概念上的，力矩这里会有点复杂，在于杆件原本受到的力也会产生力矩，所以力矩所包含的项就会比较多。
i 杆件所要承受的力矩 = i+1 所要承受的力矩（i+1之后的杆件传到 i+1 的力矩） + 让 i 产生转动所需的惯性力矩 + 惯性力 Fi 所产生的力矩 + i+1 杆件的外力所产生的力矩
那么怎么求得关节力矩呢？
在静力学中，可以通过计算一个连杆施加于相邻连杆的力矩在Z方向上分量求得：
关节类型不同，计算马达负载的方式也会不同。针对旋转关节，会用力矩对 Z 轴做投影；针对移动关节，用力对 Z 轴做投影。让我们真正算出来在真正在动力学考量下面，我们的系统在完成运动时所需要的各个 joint 的力矩是什么。
7. 补充说明
针对这个，有几个其他的想法要补：
- 包含重力场（在考虑的时候加上与重力场加速度g等大反向的加速度就可以抵消重力那部分的作用了，就不会不小心忽略掉重力场的作用）
- 假设手臂在空中晃来晃去，手臂末端没有夹持东西或者做一些操作，那最后一个 joint 本身的力和力矩就可以设定为零，再借由这个为零的条件往回算。
我们现在有了运动的状态，有了速度和加速度的公式，也有了力和力矩的公式，那也就是真正面对一个问题的时候，先把运动状态算完，运动状态是由地杆往上算，算到末端执行器之后，就可以获取整个手臂的速度和加速度状态。
有了这个之后再导入所谓的力，假设末端点会有某个力，再往回算，获取力和力矩。
上行是计算速度和加速度，下行是计算力和力矩，都计算完之后，我们才能由力和力矩去投影计算 每一个joint 所需要的出的力是多少。
注意：
- 旋转关节和移动关节用的公式是不一样的，所以在推导的过程中要选对公式；
- 这是一个通用的架构，可以应用于任意的手臂；
- 适用于计算机迭代计算。
【资料分享】
中正平和的机器人学笔记——5. 机械臂动力学
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