递归牛顿-欧拉动力学算法是一种高效的动力学计算方法，它有正和逆两种形式，我们先来看正动力学，也就是给定关节力矩求机器人的运动。下面的算法来自于论文《Lie Group Formulation of Articulated Rigid Body Dynamics》，我们更正了原文中的一处错误。该算法使用了李群的表述，其优点是形式简洁、并有清晰的数学含义。该算法适用于三维空间，每步正动力学计算过程包含三个递归过程：1. 前向计算位姿和速度；2. 反向计算广义惯量和偏置力；3. 前向计算加速度。

具体实现(Mathematica代码)

(*Initialization 运动参数初始化*)

time = 2000; dt = 0.0005;

Table[mass[i] = 1; Gravity[i] = grav*mass[i]*{0, 0, -1, 0, 0, 0}, {i, 0, n, 1}];

Table[g[i, i + 1, 0] = RPToH[Id[3], {0, 0, (La[i] + La[i + 1])/2}], {i, 0, n - 1, 1}];

q = dq = ddq = ConstantArray[0, n];

Table[V[i] = dV[i] = ConstantArray[0, 6], {i, 0, n, 1}];

Table[M[i] = Id[6]; \[Tau][i] = 0, {i, n}];

F[n + 1] = ConstantArray[0, 6];

g[n, n + 1] = g[0, 0] = Id[4];

q = ConstantArray[Pi/2, n];

\[CapitalPi][n + 1] = Id[6]*0.0;

\[Beta][n + 1] = ConstantArray[0, 6];

Table[

qList = {qList, q};

gList = {gList, g[0, 4]};

(*Forward 前向递归*)

dq = dq + ddq*dt;

q = q + dq*dt;

For[i = 1, i <= n, i++,

g[i - 1, i] = TwistExp[\[Xi]r[i], q[[i]]].g[i - 1, i, 0];

g[0, i] = g[0, i - 1].g[i - 1, i];

V[i] = Ad[Iv[g[i - 1, i]]].V[i - 1] + \[Xi]s[i]*dq[[i]];

\[Eta][i] = ad[V[i] - \[Xi]s[i]*dq[[i]]].\[Xi]s[i]*dq[[i]];

];

(*Backward 反向递归*)

For[i = n, i >= 1, i--,

\[Tau][i] = 0;

Mh[i] = M[i] + T[Ad[Iv[g[i, i + 1]]]].\[CapitalPi][i + 1].Ad[Iv[g[i, i + 1]]];

Fext[i] = T[Ad[RPToH[R[g[0, i]], {0, 0, 0}]]].Gravity[i];

\[ScriptCapitalB][i] = -T[ad[V[i]]].M[i].V[i] - Fext[i] + T[Ad[Iv[g[i, i + 1]]]].\[Beta][i + 1];

\[CapitalPsi][i] = 1/(\[Xi]s[i].Mh[i].\[Xi]s[i]);

\[CapitalPi][i] = Mh[i] - \[CapitalPsi][i]*KroneckerProduct[Mh[i].\[Xi]s[i], \[Xi]s[i].Mh[i]];

\[Beta][i] = \[ScriptCapitalB][i] + Mh[i].(\[Eta][i] + \[Xi]s[i]*\[CapitalPsi][i]*(\[Tau][i] - \[Xi]s[i].(Mh[i].\[Eta][i] + \[ScriptCapitalB][i])));

];

(*Forward 前向递归*)

For[i = 1, i <= n, i++,

ddq[[i]] = \[CapitalPsi][i]*(\[Tau][i] - \[Xi]s[i].Mh[i].(Ad[Iv[g[i - 1, i]]].dV[i - 1] + \[Eta][i]) - \[Xi]s[i].\[ScriptCapitalB][i]);

dV[i] = Ad[Iv[g[i - 1, i]]].dV[i - 1] + \[Xi]s[i]*ddq[[i]] + \[Eta][i]];

, {t, time}];

仿真结果

我们选择4个连杆的例子进行仿真试验，连杆之间用转动关节连接，机器人初始处于水平静止状态，所有关节的力矩为0，所以机器人将在重力作用下自由下落，仿真结果如下图所示(显示了Y-Z平面)。

正确性验证

为了验证算法的正确性，和第三方的仿真软件进行对比，这里我们选取了Working Model软件(一款商业二维动力学仿真软件)。Working Model中的仿真过程如下图所示。

我们选择末端连杆(也就是第4个连杆)质心的Y坐标进行对比，结果如下图左所示。二者的误差(下图右)在-0.001m~0.001m之间(每个连杆的长度为10cm，误差<1mm)，说明我们算法基本是正确的。

下图中的例子是10自由度的连杆只在重力作用下(关节力矩为0)的运动，每相邻的两个关节旋转轴相互垂直。闻到了一丝混沌(Chaos)的味道！这时要对比验证可以借助三维动力学仿真软件，例如MSC Adams。但是太繁琐，我懒得做了：-)