Floyd算法

使用范围:

1)求每对顶点的最短路径;

2)有向图、无向图和混合图;

算法思想:

直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次递推地构造出n个矩阵D(1), D(2), …, D(n), D(n)是图的距离矩阵, 同时引入一个后继点矩阵记录两点间的最短路径.

算法步骤：

d(i,j) : i到j的距离;

path(i,j): i到j的路径上i的后继点;

输入带权邻接矩阵a(i,j).

1）赋初值

对所有i,j, d(i,j)⬅a(i,j) , path(i,j)⬅j,k=l.

2）更新d(i,j) , path(i,j)

对所有i,j, 若d(i,k)+d(k,j)<d(i,j),则

d(i,j)⬅d(i,k)+d(k,j) , path(i,j)⬅path(i,k) , k ⬅k+1

3）重复2)直到k=n+1

使用说明：

Floyd算法程序的使用说明：

1. [D, path]=floyd(a), 返回矩阵D, path 。其中a是所求图的带权邻接矩阵，D(i,j)表示i到j的最短距离; path(i,j)表示i与j之间的最短路径上顶点i的后继点.

2. [D, path, min1, path1]= floyd(a,i,j) 返回矩阵D, path; 并返回i与j之间的最短距离min1和最短路径path1.

MATLAB源码：

function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)
D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);
for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)~=infpath(i,j)=j;
end,  end, end
for k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);
end, end, end,endif nargin==3min1=D(start,terminal);m(1)=start;i=1;path1=[ ];   while   path(m(i),terminal)~=terminalk=i+1;                                m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1;endm(i+1)=terminal;path1=m;
end

示例：

a =[ 0     2     8     1   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf;2     0     6   Inf     1   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf;8     6     0     7     5     1     2   Inf   Inf   Inf   Inf;1   Inf     7     0   Inf   Inf     9   Inf   Inf   Inf   Inf;Inf     1     5   Inf     0     3   Inf     2     9   Inf   Inf;Inf   Inf     1   Inf     3     0     4   Inf     6   Inf   Inf;Inf   Inf     2     9   Inf     4     0   Inf     3     1   Inf;Inf   Inf   Inf   Inf     2   Inf   Inf     0     7   Inf     9;Inf   Inf   Inf   Inf     9     6     3     7     0     1     2;Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf     1   Inf     1     0     4;Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf     9     2     4     0];
start = 1;
terminal = 11;
[D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)

结果：

min1 =13path1 =1     2     5     6     3     7    10     9    11

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