切比雪夫------切比雪夫不等式

形式
证明
描述

形式

随机变量X存在期望E(X)与方差D(X)，于是对于任意的ε>0\varepsilon>0ε>0有：

P{∣X−E(X)∣≥ε}≤D(X)ε2P\{|X-E(X)|\ge \varepsilon\}\le \frac{D(X)}{\varepsilon^2}P{∣X−E(X)∣≥ε}≤ε2D(X)

证明

证明的过程借助于马尔可夫不等式：P{X≥ε}≤E(X)εP\{X\ge \varepsilon \}\le \frac{E(X)}{\varepsilon}P{X≥ε}≤εE(X)

将随机变量变换一下有：

P{∣X−E(X)∣≥ε}≤E(∣X−E(X)∣)εP\{|X-E(X)|\ge \varepsilon \}\le \frac{E(|X-E(X)|)}{\varepsilon}P{∣X−E(X)∣≥ε}≤εE(∣X−E(X)∣)

对应的在进行一下乘方运算后有：

P{∣X−E(X)∣2≥ε2}≤E(∣X−E(X)∣2)ε2P\{|X-E(X)|^2\ge \varepsilon^2 \}\le \frac{E(|X-E(X)|^2)}{\varepsilon^2}P{∣X−E(X)∣2≥ε2}≤ε2E(∣X−E(X)∣2)

E(∣X−E(X)∣2)E(|X-E(X)|^2)E(∣X−E(X)∣2)即为对应的方差D(X)，证毕。

描述

其描述的内容为，左边的概率描述的是在均值附近事件的概率，而右边则是一个用方差估计的概率上界，可以看出在均值附近处事件会更密集。而随着距离ε\varepsilonε的增加，发生的概率也会减小。

切比雪夫不等式可以由马尔可夫不等式转化，可以看出其并没有要求随机变量X是非负的，即没有限定分布的形式，范围更加广泛，但是由于马尔可夫不等式本身就是一个宽泛的估计，因此，切比雪夫不等式也是一个宽泛界定。

切比雪夫不等式可以看作马尔可夫不等式更一般的扩展。

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