椭圆曲线密码算术（ECC）原理

引言
大多数使用公钥密码进行加密和数字签名的产品都使用的是RSA算法。为了保证RSA的安全性，密钥的位数一定会增加，这对使用RSA的应用有着很重的负担。
而椭圆曲线密码（elliptic curve cryptography）的出现代表：可以使用比RSA短的多的密钥得到相同的安全性，因此可以减少处理负荷。
但是ECC真的很难阐述，下面我简单整理一下基本原理，以求读者看后能有一个大概的了解就ok。

椭圆曲线方程
我们多多少少都学过一些椭圆的数学知识，但是其实椭圆曲线并不是椭圆，称为椭圆曲线知识因为它们与计算椭圆周长的方程相似，也是用3次方程2个变量来表示的，可以简单表示为

椭圆曲线的定义中还包含一个称为无穷远点或者零点的元素，极为O，我们先不讨论这个。
从这个方程中我们可以知道一点：椭圆曲线关于x轴对称，这很重要。
这条曲线大概是这样子的：

同时，在上图中还要说明的很重要的一点是P+Q= -R，可以这么理解：这条曲线上的所有点构成了一个Abel群，群的性质中有一条，任意两点之和还在这个这个群里面，在曲线图形上的体现就是，任意两点的连线与曲线的另一个交点的镜像是这两个点的和。（先记住，后面都是围绕这一点推导的）
此时可以利用斜率和某些代数运算计算出r的坐标

λ是P和Q的斜率
举一个例子：

这样来看是不是就很容易理解了呢？
ok,那么继续，我们从椭圆曲线开始向密码延伸，密码应用中我们只简单将一个素曲线
素曲线的形式可以简单理解为在椭圆方程的两边同时取模mod p，然后再找符合条件的点
例如这是一个取模11例子

那么根据上面Abel群的性质，取模后同样是一个群，所以符合
的k个点的和同样也满足这个方程，这是椭圆密码的前提。
例如，这个方程上的点两个（2，7）相加

得到的点是（5，2），同样满足方程。
进一步，我们一直累加这个点，就可以逐渐得到所有满足方程的点

那么最后我们就进入到椭圆曲线密码学了
我们将ECC中的加法运算与RSA中的模乘运算对应，将ECC中的乘法运算与RSA的模幂运算对应，要建立基于椭圆曲线的密码体制，需要类似因子分解两个素数之积或求离散对数这样的难题。
考虑方程Q=kP，其中Q，P给给定曲线上的点，对给定的k，P计算Q比较容易，而对给定的Q和P计算k则比较困难，这就是椭圆密码的形成机制。实际应用中k的值非常大，从而使穷举攻击方法不可行。
下面举例与椭圆曲线形成的私钥和公钥

用椭圆曲线面貌实现Diffie-Hellman的交换
两个用户A和B
（1）选择Eq（a，b）（素曲线方程）和一个基点G（x，y）（阶为n），这两个是全局公开量
（2）用户A闲杂一个小于n的整数n1作为私钥，然后产生公钥p1=n1G；改公钥是E中的一个点
（3）用户B可累死的选择私钥n2并计算公钥p2
（4）A产生秘密钥K=n1p2，B产生秘密要K=n2*p1
容易证明，两个人的K是相同的
要破译这种体制，攻击者必须由G和kG计算k，这被认为是非常难的

椭圆曲线加解密
（1）将要发送的明文信息编码为形式（x,y）的点Pm，具体编码过程这里不讲了。。。
（2）每个用户A选择一个私钥n1，产生公钥p1=n1*G
（3）若A要将消息Pm加密后发送给B，则A随机选择1个正整数k，并产生密文Cm，该密文是一个点对
Cm={kG，Pm+kp2}
p2是B的公钥，B要对密文进行解密，则需要用第二个点减去第一个点与B的私钥之积
Pm+kp2-n2（kG）=Pm
例：

这一段我知道很难理解，所以需要多看几遍还能慢慢有所体会。

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