椭圆曲线密码算法

椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography,ECC）是基于椭圆曲线数学的一种公钥密码算法，其安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题的困难性。

椭圆曲线密码算法优点

• 短的密钥长度，意味着小的带宽和存储要求。

• 所有的用户可以选择同一基域上的不同的椭圆曲线，可使所有的用户使用同样的操作完成域运算。

椭圆曲线定义

设

下图是显示了其中一种实际的椭圆曲线：

对椭圆曲线上的点，我们可以定义一种形式的加法：如果椭圆曲线上的三个点位于同一直线上，那么它们的和为

根据上面的定义导出椭圆曲线上的加法运算法则如下： 当

当

下面的动画解释了为什么是切线：

随着两个点越来越接近，过这两点的直线最终变成了曲线的切线

上面用几何的形式解释了椭圆曲线上的加法法则，下面是数学表达式。设

椭圆曲线上点群的离散对数问题

给定椭圆曲线上的点

和点

，寻找数

，使得

，其中

称为

的基于

的离散对数" style="margin: auto" />

在等式

中，已知

和点

，求点

比较容易，反之已知点

和点

，求

却是相当苦难的，这个问题称为椭圆曲线上点群的离散对数问题。椭圆曲线密码体制正是利用这个困难问题设计的。在实际应用中，

作为私钥，而

作为公钥" style="margin: auto" />

如何计算

用这种形式表示时，计算

(取

“加倍（double)与相加（add)”算法需要这样做: • 取

. • 加倍，得到

. •

与

相加(为了得到

). • 加倍

，得到

. • 与前一结果相加 (得到

). • 加倍

，得到

. • 对

不做任何操作. • 加倍

，得到

. • 与前一结果相加 (得到

). • … 最后，我们可以计算

，只需7次“加倍”运算和4次“相加”运算" style="margin: auto" />

secp256k1椭圆曲线

在比特币区块链实现中使用的椭圆曲线为secp256k1。所以这里需要学习一下。 secp256k1曲线形如

= 2^256 - 2^32 - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 - 2^4 - 1]

G的阶：

This is a graph of secp256k1's elliptic curve

over the real numbers. Note that because secp256k1 is actually defined over the field

, its graph will in reality look like random scattered points, not anything like this.

椭圆曲线参数 六元组解释： 我们的椭圆曲线算法是工作在循环子群上的。几个参数含义如下：
（1）素数

，这个值定义了有限域的大小 > （2）椭圆曲线的系数

、

> （3）基点

（子群的生成元）> （4）子群的阶

> （5）协因子

(

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补充数学概念

这里所用到的密码学其数学基础主要是《数论》、《代数》。如果想要弄清其原理，这两部分数学基础是需要研读的。

同余式

数学上，同余（congruence modulo，符号：≡）是数论中的一种等价关系。当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。同余是抽象代数中的同余关系的原型。

两个整数

若它们除以正整数

所得到的余数相等，则称

对于模

同余，记作

。读作

与

关于模

同余。（例

)。

密码学与有限循环群

现代密码学算法和协议中，消息是作为有限空间中的数字或元素来处理的。加密和解密的各种操作必须在消息之间进行变换，以使变换服从有限消息空间内部的封闭性。然而，数的一般运算诸如加减乘除并不满足有限空间内部的封闭性。所以密码算法通常运行于具有某些保持封闭性的代数结构的空间中，这种代数结构就是有限循环群。在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算组成。群必须满足以下四个条件：封闭性，结合律，存在单位元和存在逆元。

群(Group)的定义： 设

最常见的群之一是整数集

有限循环群在群的基础上满足两个额外条件：群元素个数有限以及交换律。循环群由单个元素（产生元）的叠加操作生成，最常见的有限循环群为模拟时钟。

椭圆曲线群定义

在数学上，椭圆曲线群的元素为椭圆曲线上的点，群操作为”+”,”+”的定义为，给定曲线两点<img src="https://juejin.cn/equation?tex=P)，

，

等于

和

两点的连线与曲线交点沿

轴的对称点，如果

，则

等于

在曲线上的切线与曲线交点沿

轴的对称点。该群的单位元为无穷远零点记作

，有

，点

的逆元为其沿

轴的对称点，记作

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椭圆曲线有限循环群

前面介绍的椭圆曲线都是基于有理数的，但是计算机运算浮点数(小数)的速度较慢，更重要的是四舍五入浮点数会产生误差，导致多次加密解密操作后原始消息不能被还原。故考虑到加密算法的可实现性，密码学上使用基于整数的模加运算产生椭圆曲线有限循环群。 基于整数的模加运算的特点：

• 运算速度快

• 精确的运算结果

• 产生有限循环

下面举例说明，如何产生ECC有限循环群： 例如考虑

下图展示了

集合中的元素和椭圆曲线的关系。 点

映射到点

，点

的对称点也由点

映射到点

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如果取一个更大的质数

现在我们基于

如下图所示，随着

椭圆曲线的阶

椭圆曲线定义在有限域上，这也意味着，椭圆曲线上的点也是有限的。所以引出了一个问题：一个椭圆曲线到底有多少个点？定义“椭圆曲线上点的个数”为 椭圆曲线的 阶 (order)。

椭圆曲线的数乘和循环子群

在实数域，数乘（标量乘法）被定义如下：

如何计算及算法复杂度，上面有讲过，这里讲述它的一个性质。举例说明： 椭圆曲线

，点

。现在计算

的数乘" style="margin: auto" />

上图可以化为下图的表示形式：

结果显示点

的倍数的结果只有出现5个点，其他的点从未出现；其次他们是周期出现的。 显然，上面的5个点的集合，运算是封闭的。 当然，不仅仅

有这样的性质，其他点也有类似的性质。 即，

的加法构成了一个群

，由于

属于

，故

是

的子群。 循环子群是ECC的基础" style="margin: auto" />

子群的阶

1.首先，我们已经定义了阶就是群中点的个数。在子群中也是这样的，但是我们可以换一种表达方式：子群的阶是最小能够使得

2.子群的阶和群的阶是有关系的。拉格朗日定理说明了，子群的阶是群的阶的因子。即如果

找到子群的阶的方法（根据上面讲述的定义和性质就能得出下面的方法）：（1）计算群的阶

（2）找出所有

的因子（3）每个

的因子

，然后乘以

（4）在3中，找出最小的

，使得满足

。则

是子群的阶" style="margin: auto" />

如何找一个基点

在ECC算法种，我们希望找到一个阶数较大的子群。 通常我们会选择一个椭圆曲线，然后计算它的阶

首先，拉格朗日揭示，

其次，每个椭圆曲线上的点

，

，因为

是

的阶

的倍数。 我们可以写成这样

。 假设

是一个素数，我们令

，则

就是子群的生成元。

必须是素数，若非如此，则

不一定表示

是

的阶，因为

的阶可能是

的一个因子。 总结如下" style="margin: auto" />

1.计算椭圆曲线的阶

2.选择一个数

3.计算

4.随机选择一个点

5.计算

6.如果

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