画验证曲线_椭圆曲线加密算法（ECC）

椭圆曲线加密算法，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全，RSA加密算法也是一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密（有待考证）。

比特币Bitcoin使用了 secp256k1这条特殊的椭圆曲线：

一、阿贝尔群

椭圆曲线也可以有运算，像实数的加减乘除一样，这就需要使用到加群。19世纪挪威的尼尔斯·阿贝尔抽象出了加群（又叫阿贝尔群或交换群）。数学中的群是一个集合，我们为它定义了一个“加法”，并用符号+表示。假定群用表示，则加法必须遵循以下四个特性：

封闭性：如果a和b都是的成员，那么a+b也是的成员；
结合律：(a + b) + c = a + (b + c);
单位元：a+0=0+a=a，0就是单位元；
逆元：对于任意值a必定存在b，使得a+b=0。

如果再增加一个条件，交换律：a + b = b + a，则称这个群为阿贝尔群，根据这个定义整数集是个阿贝尔群。

二、椭圆曲线的加法

过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C

三、椭圆曲线的二倍运算

上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况，因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

四、同余运算

同余就是有相同的余数，两个整数 a、 b，若它们除以正整数 m所得的余数相等，则称 a， b对于模m同余。

五、有限域

椭圆曲线是连续的，并不适合用于加密；所以必须把椭圆曲线变成离散的点，要把椭圆曲线定义在有限域上。而椭圆曲线密码所使用的椭圆曲线是定义在有限域内，有限域最常见的例子是有限域GF(p)，指给定某质数p，由0,1,2...p-1共p个元素组成的整数集合中加法、二倍运算。例如GF(233)就是

六、乘法逆元

在模7乘法中：

1的逆元为1 (1*1)%7=1
2的逆元为4 (2*4)%7=1
3的逆元为5 (3*5)%7=1
4的逆元为2 (4*2)%7=1
5的逆元为3 (5*3)%7=1
6的逆元为6 (6*6)%7=1

七、数学解释

并不是所有的椭圆曲线都适合加密，

是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类。

针对曲线Ep(a,b)表示为

该曲线关于x轴对称。选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b，要求满足以下条件

1、有限域的负元

的负元是

2、有限域的加法，

和

三点（其中R是PQ直线与曲线的交点的关于x轴的对称点，即

）有如下关系：

3、斜率计算（P=Q即要计算P点切线，需要求导）

若

，则

若

，则

该公式可以自己推导，为了方便理解，可以套用以上公式，解决以下例题。

例：已知

上两点

，

，求1)

，2)

，3)

解：1)

的负元是

，因为

所以2的乘法逆元为12，

故 k=11。

故

的坐标为

，

,因为

，5的乘法逆元为14，故k=6。

故

的坐标为

八、椭圆曲线加解密算法原理

设私钥、公钥分别为d、Q，即Q = dG，其中G为基点，椭圆曲线上的已知G和dG，求d是非常困难的，也就是说已知公钥和基点，想要算出私钥是非常困难的。公钥加密：选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，C = {rG, M+rQ}，其中Q为公钥。私钥解密：M + rQ - d(rG) = M + r(dG) - d(rG) = M，其中d、Q分别为私钥、公钥。

九、椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法(ECDSA)。设私钥、公钥分别为d、Q，即Q = dG，其中G为基点。

私钥签名：

选择随机数r，计算点rG(x, y)。
根据随机数r、消息M的哈希h、私钥d，计算s = (h + dx)/r。　　
将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

公钥验证签名：　　

接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。　　
根据消息求哈希h。　　
使用发送方公钥Q计算：hG/s + xQ/s，并与rG比较，如相等即验签成功。
原理：hG/s + xQ/s = hG/s + x(dG)/s = (h+xd)G/s = r(h+xd)G / (h+dx) = rG

10、签名过程

假设要签名的消息是一个字符串：“Hello World!”。DSA签名的第一个步骤是对待签名的消息生成一个消息摘要，不同的签名算法使用不同的消息摘要算法，而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。

摘要生成结束后，应用签名算法对摘要进行签名：

产生一个随机数k
利用随机数k，计算出两个大数r和s。将r和s拼在一起就构成了对消息摘要的签名。
这里需要注意的是，因为随机数k的存在，对于同一条消息，使用同一个算法，产生的签名是不一样的。从函数的角度来理解，签名函数对同样的输入会产生不同的输出。因为函数内部会将随机值混入签名的过程。

11、验证过程

关于验证过程，这里不讨论它的算法细节。从宏观上看，消息的接收方从签名中分离出r和s，然后利用公开的密钥信息和s计算出r。如果计算出的r和接收到的r值相同，则表示验证成功，否则，表示验证失败。

12、数值计算Demo实现

# -*- coding:utf-8 -*-def get_inverse(value, p):"""求逆元:param value: 待求逆元的值:param p: 模数"""for i in range(1, p):if (i * value) % p == 1:return ireturn -1def get_gcd(value1, value2):"""辗转相除法求最大公约数:param value1::param value2:"""if value2 == 0:return value1else:return get_gcd(value2, value1 % value2)def get_PaddQ(x1, y1, x2, y2, a, p):"""计算P+Q:param x1: P点横坐标:param y1: P点纵坐标:param x2: Q点横坐标:param y2: Q点纵坐标:param a: 曲线参数:param p: 曲线模数"""flag = 1  # 定义符号位(+/-)# 如果P=Q，斜率k=(3x^2+a)/2y mod pif x1 == x2 and y1 == y2:member = 3 * (x1 ** 2) + a  # 分子denominator = 2 * y1  # 分母# 如果P≠Q， 斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) mod pelse:member = y2 - y1denominator = x2 - x1if member * denominator < 0:flag = 0  # 表示负数member = abs(member)denominator = abs(denominator)# 化简分子分母gcd = get_gcd(member, denominator)  # 最大公约数member = member // gcddenominator = denominator // gcd# 求分母的逆元inverse_deno = get_inverse(denominator, p)# 求斜率k = (member * inverse_deno)if flag == 0:k = -kk = k % p# 计算P+Q=(x3,y3)x3 = (k ** 2 - x1 - x2) % py3 = (k * (x1 - x3) - y1) % preturn x3, y3def get_order(x0, y0, a, b, p):"""计算椭圆曲线的阶"""x1 = x0  # -P的横坐标y1 = (-1 * y0) % p  # -P的纵坐标temp_x = x0temp_y = y0n = 1while True:n += 1# 累加P,得到n*P=0∞xp, yp = get_PaddQ(temp_x, temp_y, x0, y0, a, p)# 如果(xp,yp)==-P，即(xp,yp)+P=0∞，此时n+1为阶数if xp == x1 and yp == y1:return n + 1temp_x = xptemp_y = ypdef get_dot(x0, a, b, p):"""计算P和-P"""y0 = -1for i in range(p):# 满足适合加密的椭圆曲线条件，Ep(a,b)，p为质数，x,y∈[0,p-1]if i ** 2 % p == (x0 ** 3 + a * x0 + b) % p:y0 = ibreak# 如果找不到合适的y0返回Falseif y0 == -1:return False# 计算-yx1 = x0y1 = (-1 * y0) % preturn x0, y0, x1, y1def get_graph(a, b, p):"""画出椭圆曲线散点图"""xy = []# 初始化二维数组for i in range(p):xy.append(['-' for i in range(p)])for i in range(p):value = get_dot(i, a, b, p)if value is not False:x0, y0, x1, y1 = valuexy[x0][y0] = 1xy[x1][y1] = 1print('椭圆曲线散点图：')for i in range(p):temp = p - 1 - iif temp >= 10:print(temp, end='')else:print(temp, end='')# 输出具体坐标值for j in range(p):print(xy[j][temp], end='')print()print(' ', end='')for i in range(p):if i >= 10:print(i, end='')else:print(i, end='')print()def get_nG(xG, yG, priv_key, a, p):"""计算nG"""temp_x = xGtemp_y = yGwhile priv_key != 1:temp_x, temp_y = get_PaddQ(temp_x, temp_y, xG, yG, a, p)priv_key -= 1return temp_x, temp_ydef get_KEY():"""生成公钥私钥"""# 选择曲线方程while True:a = int(input('输入椭圆曲线参数a（a>0）的值：'))b = int(input('输入椭圆曲线参数b（b>0）的值：'))p = int(input('输入椭圆曲线参数p（p为素数）的值：'))# 满足曲线判别式if (4 * (a ** 3) + 27 * (b ** 2)) % p == 0:print('输入的参数有误，请重新输入！n')else:break# 输出曲线散点图get_graph(a, b, p)# 选择基点Gprint('在上图坐标系中选择基点G的坐标')xG = int(input('横坐标xG：'))yG = int(input('纵坐标yG：'))# 获取曲线的阶n = get_order(xG, yG, a, b, p)# 生成私钥key，且key<npriv_key = int(input('输入私钥key(<%d)：' % n))# 生成公钥KEYxK, yK = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)return xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yGdef encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n):"""加密"""k = int(input('输入一个整数k(<%d)用于计算kG和kQ：' % n))kGx, kGy = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)  # kGkQx, kQy = get_nG(xK, yK, priv_key, a, p)  # kQplain = input('输入需要加密的字符串：')plain = plain.strip()c = []print('密文为：', end='')for char in plain:intchar = ord(char)cipher = intchar * kQxc.append([kGx, kGy, cipher])print('(%d,%d),%d' % (kGx, kGy, cipher), end=' ')print()return cdef decrypt(c, priv_key, a, p):"""解密"""for charArr in c:kQx, kQy = get_nG(charArr[0], charArr[1], priv_key, a, p)print(chr(charArr[2] // kQx), end='')print()if __name__ == '__main__':xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG = get_KEY()c = encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n)decrypt(c, priv_key, a, p)