P5431 【模板】乘法逆元2

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题目大意：
给定 nnn 个正整数 aia_iai ，求它们在模 ppp 意义下的下式：
∑i=1nkiai\sum_{i=1}^n\frac{k^i}{a_i}i=1∑naiki

题目分析：
本题主要问题是如何线性处理出 ai{a_i}ai 的逆元，我们令：
si=∏k=1iaks_i=\prod_{k=1}^ia_ksi=k=1∏iak
即 sis_isi 满足：
si=si−1ais_i=s_{i-1}a_isi=si−1ai
取倒数有：
1si=1si−11ai\frac 1 {s_i}=\frac1{s_{i-1}}\frac1{a_i}si1=si−11ai1
即：
1ai=si−11si\frac1{a_i}=s_{i-1}\frac 1{s_i}ai1=si−1si1
有了此式我们就可以通过 si=si−1ais_i=s_{i-1}a_isi=si−1ai 递推出 sis_isi 然后用费马小定理求出 sis_isi 的逆再倒着推出其所有的逆

具体细节见代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
ll read()
{ll res = 0,flag = 1;char ch = getchar();while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch == '-') flag = -1;ch = getchar();}while(ch>='0' && ch<='9'){res = (res<<3)+(res<<1)+(ch^48);//res*10+ch-'0';ch = getchar();}return res*flag;
}
const int maxn = 5e6+5;
const int mod = 1e9+7;
const double pi = acos(-1);
const double eps = 1e-8;
const int base = 131;
ll n,p,k,a[maxn],s[maxn],invs[maxn];
ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{ll res = 1;while(b){if(b&1) res = res*a%mod;a = a*a%mod;b >>= 1;}return res;
}
int main()
{n = read(),p = read(),k = read();s[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++){a[i] = read();s[i] = s[i-1]*a[i]%p;}invs[n] = qpow(s[n],p-2,p);for(int i = n;i;i--){invs[i-1] = invs[i]*a[i]%p;}ll base = 1,ans = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){base = base*k%p;ans = (ans+base*s[i-1]%p*invs[i]%p)%p;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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