决策树（一）——构建决策树

决策树

说明：这篇博客是看李航老师的《统计学习方法》做的笔记总结，博客中有很多内容是摘选自李航老师的《统计学习方法》一书，仅供学习交流使用。

决策树（decision tree）是一种基本的分类与回归方法。主要讨论用于分类的决策树。

决策树模型呈树形结构，在分类问题中，表示基于特征对实例进行分类的过程。它可以认为是if-then规则集合，也可以认为是定义在特征空间与类空间上的条件概率分布。其主要优点是模型具有可读性，分类速度快。

简单来说，决策树就是一棵树，一颗决策树包含一个根节点、若干个内部结点和若干个叶结点；叶结点对应于决策结果，其他每个结点则对应于一个特征测试；分类的具体操作是从根节点开始，对实例的每一特征进行测试，根据测试结果，将实例分配到其子节点；这时，每一个子节点对应着给特征的一个取值。如此递归地对实例进行测试并分配，直至达到叶节点。最后将实例分到叶节点的类中。下面直接上个图，帮助大家理解一下：

名字	体温	胎生	类别
小狗狗	恒温	是	哺乳动物

注：圆框代表内部节点，方框代表叶节点。

决策树通常包括三个步骤：特征选择、决策树的生成和决策树的修剪。

决策树学习的目标：根据给定的训练数据集构建一个决策树模型，使它能够对实例进行正确的分类。

决策树学习的本质：从训练数据集中归纳出一组分类规则。

决策树学习的策略：以损失函数为目标函数的最小化。

特征选择

特征选择在于选取对训练数据具有分类能力的特征。这样可以提高决策树学习的效率，如果利用一个特征进行分类的结果与随机分类的结果没有很大差别，则称这个特征是没有分类能力的。经验上扔掉这样的特征对决策树学习的精度影响不大。通常特征选择的准则是信息增益或信息增益比。

简单来说，就是找出比较好的特征来划分特征空间。比如判断是否为哺乳动物这个例子，其中有体温和胎生两个特征，那么选哪一个作为根节点呢？而特征选择就是用来解决这个问题的方法。

经验熵、经验条件熵

为了便于说明，这里先给出熵和条件熵的定义。

在信息论与概率统计中，熵（entropy）是表示随机变量不确定性的度量。设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为
P ( X = x i ) = p i , i = 1 , 2 , … , n P(X=x_i)=p_i,i=1,2,\dots,n P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n
则随机变量X的熵定义为
H ( X ) = − ∑ i = 1 n p i l o g 2 p i H(X)=-\sum_{i=1}^np_ilog_2p_i H(X)=−i=1∑npilog2pi
熵越大，随机变量的不确定性就越大。

为了更好的理解熵与不确定性的关系，我们可以举一个例子

如一个普通的骰子A，扔出1-6的概率均为1/6

假设一个骰子B，扔出6的概率为50%，扔出1-5的概率为10%

则骰子A的熵为 − ( 1 6 l o g 2 1 6 ) ∗ 6 ≈ 2.585 -(\frac{1}{6}log_2\frac{1}{6})*6≈2.585 −(61log261)∗6≈2.585

骰子B的熵为 − 1 2 l o g 2 1 2 − 1 10 l o g 2 1 10 ∗ 5 ≈ 2.161 -\frac{1}{2}log_2\frac{1}{2}-\frac{1}{10}log_2\frac{1}{10}*5≈2.161 −21log221−101log2101∗5≈2.161

条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。随机变量X给定条件下随机变量Y的条件熵（conditional entropy）H(Y|X)，定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望
H ( Y ∣ X ) = ∑ i = 1 n p i H ( Y ∣ X = x i ) H(Y|X)=\sum_{i=1}^np_iH(Y|X=x_i) H(Y∣X)=i=1∑npiH(Y∣X=xi)
这里， p i = P ( x = x i ) , i = 1 , 2 , … , n p_i=P(x=x_i),i=1,2,\dots,n pi=P(x=xi),i=1,2,…,n。

当熵和条件熵中的概率由数据估计（特别是极大似然估计）得到时，所对应的熵和条件熵分别成为经验熵和经验条件熵。

假设现在有一个数据集D，|D|表示数据集D的样本容量，即样本个数。而样本中有K个类（ k = 1 , 2 , … , K k=1,2,\dots,K k=1,2,…,K）， ∣ C k ∣ |C_k| ∣Ck∣为属于类 C k C_k Ck的样本数。

此时在数据集D上，经验熵的公式为
H ( D ) = − ∑ k = 1 K ∣ C k ∣ ∣ D ∣ l o g 2 ∣ C k ∣ ∣ D ∣ H(D)=-\sum_{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}log_2\frac{|C_k|}{|D|} H(D)=−k=1∑K∣D∣∣Ck∣log2∣D∣∣Ck∣
同样在上述的数据集中，特征A的取值有n个（数据集中有n个特征），其取值将数据集D划分为了n个小的子集 D i D_i Di，而子集 D i D_i Di属于类 C k C_k Ck的样本集合记为 D i k D_{ik} Dik，即 D i k = D i ∩ C k D_{ik}=D_i∩C_k Dik=Di∩Ck。

那么特征A对数据集D的经验条件熵H(D|A)
H ( D ∣ A ) = ∑ i = 1 n ∣ D i ∣ ∣ D ∣ H ( D i ) = − ∑ i = 1 n ∣ D i ∣ ∣ D ∣ ∑ k = 1 K ∣ D i k ∣ ∣ D i ∣ l o g 2 ∣ D i k ∣ ∣ D i ∣ H(D|A)=\sum_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}H(D_i)=-\sum_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum_{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}log_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|} H(D∣A)=i=1∑n∣D∣∣Di∣H(Di)=−i=1∑n∣D∣∣Di∣k=1∑K∣Di∣∣Dik∣log2∣Di∣∣Dik∣
为了更好的理解公式，这里引入《统计学习方法》书中的例子

ID	年龄	有工作	有自己的房子	信贷情况	类别
1	青年	否	否	一般	否
2	青年	否	否	好	否
3	青年	是	否	好	是
4	青年	是	是	一般	是
5	青年	否	否	一般	否
6	中年	否	否	一般	否
7	中年	否	否	好	否
8	中年	是	是	好	是
9	中年	否	是	非常好	是
10	中年	否	是	非常好	是
11	老年	否	是	非常好	是
12	老年	否	是	好	是
13	老年	是	否	好	是
14	老年	是	否	非常好	是
15	老年	否	否	一般	否

该例中类别 C k C_k Ck的取值有两个否和是， C 否 = 6 ， C 是 = 9 C_否=6，C_是=9 C否=6，C是=9，则经验熵为
H ( D ) = − ∑ k = 1 K ∣ C k ∣ ∣ D ∣ l o g 2 ∣ C k ∣ ∣ D ∣ = − ∣ C 否 ∣ ∣ D ∣ l o g 2 ∣ C 否 ∣ ∣ D ∣ − ∣ C 是 ∣ ∣ D ∣ l o g 2 ∣ C 是 ∣ ∣ D ∣ = − 6 15 l o g 2 6 15 − 9 15 l o g 2 9 15 = 0.971 \begin{aligned} H(D)&=-\sum_{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}log_2\frac{|C_k|}{|D|} \\ &=-\frac{|C_否|}{|D|}log_2\frac{|C_否|}{|D|}-\frac{|C_是|}{|D|}log_2\frac{|C_是|}{|D|} \\ &=-\frac{6}{15}log_2\frac{6}{15}-\frac{9}{15}log_2\frac{9}{15} =0.971 \end{aligned} H(D)=−k=1∑K∣D∣∣Ck∣log2∣D∣∣Ck∣=−∣D∣∣C否∣log2∣D∣∣C否∣−∣D∣∣C是∣log2∣D∣∣C是∣=−156log2156−159log2159=0.971
该例中第一个特征的取值有3个，其中 D 1 = D 2 = D 3 = 5 D_1=D_2=D_3=5 D1=D2=D3=5， D 1 否 = 3 ， D 1 是 = 2 D_{1否}=3，D_{1是}=2 D1否=3，D1是=2， D 2 否 = 2 ， D 2 是 = 3 D_{2否}=2，D_{2是}=3 D2否=2，D2是=3， D 3 否 = 1 ， D 3 是 = 4 D_{3否}=1，D_{3是}=4 D3否=1，D3是=4，则经验条件熵为
H ( D ∣ A 1 ) = − ∑ i = 1 n ∣ D i ∣ ∣ D ∣ ∑ k = 1 K ∣ D i k ∣ ∣ D i ∣ l o g 2 ∣ D i k ∣ ∣ D i ∣ = − ∣ D 1 ∣ ∣ D ∣ ∑ k = 1 K ∣ D 1 k ∣ ∣ D 1 ∣ l o g 2 ∣ D 1 k ∣ ∣ D 1 ∣ − ∣ D 2 ∣ ∣ D ∣ ∑ k = 1 K ∣ D 2 k ∣ ∣ D 2 ∣ l o g 2 ∣ D 2 k ∣ ∣ D 2 ∣ − ∣ D 3 ∣ ∣ D ∣ ∑ k = 1 K ∣ D 3 k ∣ ∣ D 3 ∣ l o g 2 ∣ D 3 k ∣ ∣ D 3 ∣ = − 5 15 ( 3 5 l o g 2 3 5 + 2 5 l o g 2 2 5 ) − 5 15 ( 2 5 l o g 2 2 5 + 3 5 l o g 2 3 5 ) − 5 15 ( 1 5 l o g 2 1 5 + 4 5 l o g 2 4 5 ) = 0.8879432 ≈ 0.888 \begin{aligned} H(D|A_1)&=-\sum_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum_{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}log_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|} \\ &=-\frac{|D_1|}{|D|}\sum_{k=1}^K\frac{|D_{1k}|}{|D_1|}log_2\frac{|D_{1k}|}{|D_1|}-\frac{|D_2|}{|D|}\sum_{k=1}^K\frac{|D_{2k}|}{|D_2|}log_2\frac{|D_{2k}|}{|D_2|}-\frac{|D_3|}{|D|}\sum_{k=1}^K\frac{|D_{3k}|}{|D_3|}log_2\frac{|D_{3k}|}{|D_3|} \\ &=-\frac{5}{15}(\frac{3}{5}log_2\frac{3}{5}+\frac{2}{5}log_2\frac{2}{5})-\frac{5}{15}(\frac{2}{5}log_2\frac{2}{5}+\frac{3}{5}log_2\frac{3}{5})-\frac{5}{15}(\frac{1}{5}log_2\frac{1}{5}+\frac{4}{5}log_2\frac{4}{5}) \\ &=0.8879432≈0.888 \end{aligned} H(D∣A1)=−i=1∑n∣D∣∣Di∣k=1∑K∣Di∣∣Dik∣log2∣Di∣∣Dik∣=−∣D∣∣D1∣k=1∑K∣D1∣∣D1k∣log2∣D1∣∣D1k∣−∣D∣∣D2∣k=1∑K∣D2∣∣D2k∣log2∣D2∣∣D2k∣−∣D∣∣D3∣k=1∑K∣D3∣∣D3k∣log2∣D3∣∣D3k∣=−155(53log253+52log252)−155(52log252+53log253)−155(51log251+54log254)=0.8879432≈0.888

第二个特征（有工作）的取值有2两个，其中 D 1 = 10 （没有工作） , D 2 = 5 （有工作） D_1=10（没有工作）,D_2=5（有工作） D1=10（没有工作）,D2=5（有工作）， D 1 否 = 6 ， D 1 是 = 4 D_{1否}=6，D_{1是}=4 D1否=6，D1是=4， D 2 是 = 5 D_{2是}=5 D2是=5，则经验条件熵为
H ( D ∣ A 1 ) = − ∑ i = 1 n ∣ D i ∣ ∣ D ∣ ∑ k = 1 K ∣ D i k ∣ ∣ D i ∣ l o g 2 ∣ D i k ∣ ∣ D i ∣ = − 10 15 H ( D 1 ) − 5 15 H ( D 2 ) = − 10 15 ( 4 10 l o g 2 4 10 + 6 10 l o g 2 6 10 ) − 5 15 ∗ 0 ≈ 0.324 \begin{aligned} H(D|A_1)&=-\sum_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum_{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}log_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|} \\ &=-\frac{10}{15}H(D_1)-\frac{5}{15}H(D_2) \\ &=-\frac{10}{15}(\frac{4}{10}log_2\frac{4}{10}+\frac{6}{10}log_2\frac{6}{10})-\frac{5}{15}*0 \\ &≈0.324 \end{aligned} H(D∣A1)=−i=1∑n∣D∣∣Di∣k=1∑K∣Di∣∣Dik∣log2∣Di∣∣Dik∣=−1510H(D1)−155H(D2)=−1510(104log2104+106log2106)−155∗0≈0.324
其他特征同理。

代码实现经验熵、经验条件熵

代码实现经验熵计算

from math import log
# 数据集
dataSet=[[0, 0, 0, 0, 'no'],[0, 0, 0, 1, 'no'],[0, 1, 0, 1, 'yes'],[0, 1, 1, 0, 'yes'],[0, 0, 0, 0, 'no'],[1, 0, 0, 0, 'no'],[1, 0, 0, 1, 'no'],[1, 1, 1, 1, 'yes'],[1, 0, 1, 2, 'yes'],[1, 0, 1, 2, 'yes'],[2, 0, 1, 2, 'yes'],[2, 0, 1, 1, 'yes'],[2, 1, 0, 1, 'yes'],[2, 1, 0, 2, 'yes'],[2, 0, 0, 0, 'no']]
#数据集D的样本个数
num_D=len(dataSet)
#记录类别的字典
labelCounts={}
#记录数据集中的类别，并统计其个数
for featVec in dataSet:currentLabel=featVec[-1]                     #读取类别信息if currentLabel not in labelCounts.keys():   #如果读取的类别没有放入统计次数的字典，添加进去labelCounts[currentLabel]=0              #默认值为0labelCounts[currentLabel]+=1                 #计数entropy=0.0                                   #经验熵
#计算经验熵
for key in labelCounts:prob=float(labelCounts[key])/num_Dentropy-=prob*log(prob,2)                 #利用公式计算
print("数据集D的经验熵H(D):",format(entropy,'.3f'))

数据集D的经验熵H(D): 0.971

代码实现经验条件熵计算

from math import log
# 数据集
dataSet=[[0, 0, 0, 0, 'no'],[0, 0, 0, 1, 'no'],[0, 1, 0, 1, 'yes'],[0, 1, 1, 0, 'yes'],[0, 0, 0, 0, 'no'],[1, 0, 0, 0, 'no'],[1, 0, 0, 1, 'no'],[1, 1, 1, 1, 'yes'],[1, 0, 1, 2, 'yes'],[1, 0, 1, 2, 'yes'],[2, 0, 1, 2, 'yes'],[2, 0, 1, 1, 'yes'],[2, 1, 0, 1, 'yes'],[2, 1, 0, 2, 'yes'],[2, 0, 0, 0, 'no']]
'''
将数据集D按照特征划分为一个个子集
'''
def splitDataSet(dataSet, axis, value):retDataSet=[]for featVec in dataSet:if featVec[axis] == value:reduceFeatVec=featVec[:axis]reduceFeatVec.extend(featVec[axis+1:])retDataSet.append(reduceFeatVec)return retDataSet
'''
计算数据集的经验熵
'''
def empiricalEnt(dataSet):#数据集D的样本个数num_D=len(dataSet)#记录类别的字典labelCounts={}#记录数据集中的类别，并统计其个数for featVec in dataSet:currentLabel=featVec[-1]                     #读取类别信息if currentLabel not in labelCounts.keys():   #如果读取的类别没有放入统计次数的字典，添加进去labelCounts[currentLabel]=0              #默认值为0labelCounts[currentLabel]+=1                 #计数entropy=0.0                                   #经验熵#计算经验熵for key in labelCounts:prob=float(labelCounts[key])/num_Dentropy-=prob*log(prob,2)                 #利用公式计算return entropy
'''
计算经验条件熵
'''
#特征数
features = len(dataSet[0])-1
for i in range(features):#获取第i个特征的所有值featList = [example[i] for example in dataSet]#创建集合uniqueValue，元素不可重复uniqueValue = set(featList)#经验条件熵conditionalEnt = 0.0#计算经验信息熵for value in uniqueValue:#划分子集subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)#子集与原数据集之比prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))#子集经验熵conditionalEnt += prob*empiricalEnt(subDataSet)print(format(conditionalEnt,'.3f'))'''info = empiricalEnt(dataSet)-conditionalEntprint('第%d个特征的信息增益%.3f' %(i, info))'''

信息增益

特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差，即
g ( D , A ) = H ( D ) − H ( D ∣ A ) g(D,A)=H(D)-H(D|A) g(D,A)=H(D)−H(D∣A)
其中经验熵H(D)表示对数据集D进行分类的不确定性，而经验条件熵H(D|A)表示在特征A给定的条件下对数据集D进行分类的不确定性。那么**信息增益就表示由于特征A而使得对数据集D进行分类得不确定性减少的程度。**那么在进行分类的时候肯定选择信息增益大的作为根节点。

而对信息增益的代码实现也很简单，只需要在上述经验条件熵的第二个for循环后加上如下代码即可

info = empiricalEnt(dataSet)-conditionalEnt
print('第%d个特征的信息增益%.3f' %(i, info))

第0个特征的信息增益0.083
第1个特征的信息增益0.324
第2个特征的信息增益0.420
第3个特征的信息增益0.363

信息增益比

在使用信息增益作为划分训练数据集的特征时，存在偏向于选择取值较多的特征的问题，使用信息增益比可以对这一问题进行校正。

定义：特征A对训练数据集D的信息增益比 g R ( D , A ) g_R(D,A) gR(D,A)定义为其信息增益g(D,A)与训练数据集D关于特征A的值的熵 H A ( D ) H_A(D) HA(D)之比，即
g R ( D , A ) = g ( D , A ) H A ( D ) g_R(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_A(D)} gR(D,A)=HA(D)g(D,A)
其中， H A ( D ) = − ∑ i = 1 n ∣ D i ∣ ∣ D ∣ l o g 2 ∣ D i ∣ ∣ D ∣ H_A(D)=-\sum_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}log_2\frac{|D_i|}{|D|} HA(D)=−∑i=1n∣D∣∣Di∣log2∣D∣∣Di∣，n是特征A的取值个数。

参考文章：

https://blog.csdn.net/u012328159/article/details/70184415

https://blog.csdn.net/jiaoyangwm/article/details/79525237