【时间序列分析】差分运算及延迟算子的性质

差分运算

一阶差分： ∇xt=xt−xt−1\nabla{x_t}=x_t - x_{t-1}∇xt=xt−xt−1
P阶差分： ∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1\nabla^p{x_t}=\nabla^{p-1}x_t - \nabla^{p-1}x_{t-1}∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1
k步差分： ∇k=xt−xt−k\nabla_k=x_t - x_{t-k}∇k=xt−xt−k

延迟算子

延迟算子类似于一个时间指针，当前序列诚意一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻
记 p 为延迟算子，则有Xt−p=BpXt,∀p≥1X_{t-p}=B^pX_t,\forall{p}\geq1Xt−p=BpXt,∀p≥1 ，则有：
一阶差分： ∇xt=xt−xt−1=(1−B)xt\nabla{x_t}=x_t - x_{t-1}=(1-B)x_t∇xt=xt−xt−1=(1−B)xt
二阶差分： ∇2xt=∇xt−∇xt−1=(xt−xt−1)−(xt−1−xt−2)=xt−2xt−1+xt−2=(1−2B+B2)xt=(1−B)2xt\nabla^2{x_t}=\nabla x_t - \nabla x_{t-1} = (x_t - x_{t-1}) - (x_{t-1} - x_{t-2}) = x_t - 2x_{t-1} + x_{t-2} = (1-2B + B^2)x_t = (1-B)^2 x_t∇2xt=∇xt−∇xt−1=(xt−xt−1)−(xt−1−xt−2)=xt−2xt−1+xt−2=(1−2B+B2)xt=(1−B)2xt
p阶差分： ∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1=(1−B)Pxt=∑i=0p(−1)pCpix(t−i)\nabla^p{x_t}=\nabla^{p-1}x_t - \nabla^{p-1}x_{t-1} = (1-B)^Px_t=\sum_{i=0}^{p}{(-1)^p C_{p}^i x_(t-i)}∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1=(1−B)Pxt=∑i=0p(−1)pCpix(t−i)
k步差分： ∇k=xt−xt−k=(1−Bk)xt\nabla_k=x_t - x_{t-k} = (1 - B^k)x_t∇k=xt−xt−k=(1−Bk)xt
延迟算子的性质
{B0=1B(c⋅xt)=c⋅B(xt)=c⋅xt−1,c为任意常数B(xt±yt)=xt−1±yt−1Bnxt=xt−n(1−B)n=∑i=0n(−1)nCniBi,其中Cni=n!i!(n−i)!\left\{ \begin{aligned} B^0=1 \\ B(c\cdot x_t) &= c \cdot B(x_t) = c \cdot x_{t-1}, c为任意常数\\ B(x_t \pm y_t) &= x_{t-1} \pm y_{t-1} \\ B^n x_t &= x_{t-n} \\ (1-B)^n &= \sum_{i=0}^{n}{(-1)^n C_{n}^{i} B^i}, 其中 C_{n}^i = \frac{n!}{i!(n-i)!}\\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧B0=1B(c⋅xt)B(xt±yt)Bnxt(1−B)n=c⋅B(xt)=c⋅xt−1,c为任意常数=xt−1±yt−1=xt−n=i=0∑n(−1)nCniBi,其中Cni=i!(n−i)!n!

线性差分方程

zt+a1zt−1+a2zt−2+...+apzt−p=h(t)z_t + a_1z_{t-1} + a_2z_{t-2} + ... + a_pz_{t-p} = h(t)zt+a1zt−1+a2zt−2+...+apzt−p=h(t)

齐次线性差分方程

zt+a1zt−1+a2zt−2+...+apzt−p=0z_t + a_1z_{t-1} + a_2z_{t-2} + ... + a_pz_{t-p} = 0zt+a1zt−1+a2zt−2+...+apzt−p=0
齐次线性差分方程的解（利用特征方程求解）
用 λp\lambda^pλp 替代 ztz_tzt , 得到 λp+a1λp−1+a2λp−2+...+ap=0\lambda^p + a_1\lambda^{p-1} + a_2\lambda^{p-2} + ... + a_p= 0λp+a1λp−1+a2λp−2+...+ap=0
特征方程的根称为特征根，记作 λ1,λ2,...,λp\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_pλ1,λ2,...,λp

齐次线性差分方程的通解

不相等实数根场合
zt=c1λ1t+c2λ2t+...+cpλptz_t =c_1 \lambda_{1}^{t} + c_2 \lambda_{2}^{t}+ ...+ c_p \lambda_{p}^{t}zt=c1λ1t+c2λ2t+...+cpλpt
有相等实根场合
zt=(c1+c2t+...+cdtd−1)λ1t+cd+1λd+1t+...+cpλptz_t =(c_1 + c_2 t+ ...+ c_dt^{d-1})\lambda_{1}^{t} + c_{d+1}\lambda^{t}_{d+1} + ...+ c_p\lambda_{p}^tzt=(c1+c2t+...+cdtd−1)λ1t+cd+1λd+1t+...+cpλpt
复根场合
zt=rt(c1eitω+c2e−itω)+c3λ3t+...+cpλptz_t = r^t(c_1e^{it\omega} + c_2e^{-it\omega}) + c_3\lambda_{3}^t +...+c_p\lambda_{p}^tzt=rt(c1eitω+c2e−itω)+c3λ3t+...+cpλpt

非齐次线性差分方程的特解 zt′′z_{t}^{''}zt′′ (使得非齐次线性差分方程城里的任意一个解)

zt′′+a1zt−1′′+a2zt−2′′+...+apzt−p′′=h(t)z_{t}^{''} +a_1z_{t-1}^{''} + a_2z_{t-2}^{''} +...+ a_pz_{t-p}^{''} = h(t)zt′′+a1zt−1′′+a2zt−2′′+...+apzt−p′′=h(t)
非齐次线性差分方程的通解 ztz_tzt
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和
zt=zt′+zt′′z_t = z_{t}^{'} + z_{t}^{''}zt=zt′+zt′′