Matlab中的有限域计算
1 有限域基础知识
1.1 有限域（Galois域）的构造
令 pp 为一个素数. 则对任意的一个正整数 nn，存在一个特征为 pp，元素个数为 pnp^{n} 的有限域 GF(pn)GF(p^{n}).
注：任意一个有限域，其元素的个数一定为 pnp^{n}，其中 pp 为一个素数（有限域的特征），nn 为一个正整数.
例1（有限域 GF(p)GF(p)） 令 pp 为一个素数，集合
GF(p)=Zp={0,1,2,…,p−1}.GF(p)=\mathbb{Z}_{p}=\{0,1,2,\dots,p-1\}.
在 GF(p)GF(p) 上定义加法 ⊕\oplus 和乘法 ⊙\odot 分别为模 pp 加法和模 pp 乘法，即任意的 a,b∈GF(p)a,b\in GF(p)，a⊕b=(a+b)modp, a⊙b=(a⋅b)modpa\oplus b=(a+b)\mod p,\ a\odot b=(a\cdot b)\mod p
则 <GF(p),⊕,⊙><script type="math/tex" id="MathJax-Element-638"></script> 为一个有 pp 个元素的有限域，其中零元素为 00，单位元为 11.令 aa 为 GF(p)GF(p) 中的一个非零元素. 由于 gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1，因此，存在整数 b,cb,c，使得 ab+pc=1ab+pc=1. 由此得到 aa 的逆元为 a−1=bmodpa^{-1}=b\mod p.
域 GF(p)GF(p) 称为一个素域(prime field).
例注1： 给定 aa 和 pp，例1中的等式 ab+pc=1ab+pc=1 可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得 GF(p)GF(p) 中任意非零元素的逆元.
例2（有限域 GF(pn)GF(p^{n})） 从 GF(p)GF(p) 出发，对任意正整数 nn，n≥2n\geq 2，我们可以构造元素元素个数为 pnp^{n} 的有限域 GF(pn)GF(p^{n}) 如下：
令 g(x)g(x) 为一个 GF(p)GF(p) 上次数为 nn 的不可约多项式，集合GF(pn)=GF(p)[x]/⟨g(x)⟩={a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1 | ai∈GF(p),0≤i≤n−1}GF(p^{n})=GF(p)[x]/\langle g(x)\rangle=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\ |\ a_{i}\in GF(p), 0\leq i\leq n-1\}
在 GF(pn)GF(p^{n}) 上定义加法 ⊕\oplus 和乘法 ⊙\odot 分别为模 g(x)g(x) 加法和模 g(x)g(x) 乘法，即任意的 a(x),b(x)∈GF(pn)a(x),b(x)\in GF(p^{n})，a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x), a(x)⊙b(x)=(a(x)⋅b(x))modg(x)a(x)\oplus b(x)=a(x)+b(x),\ a(x)\odot b(x)=(a(x)\cdot b(x))\mod g(x)
则 <GF(pn),⊕,⊙><script type="math/tex" id="MathJax-Element-671"></script> 为一个有 pnp^{n} 个元素，特征为 pp 的有限域，其中零元素为 GF(p)GF(p) 中的 00，单位元为 GF(p)GF(p) 中的 11.令 a(x)a(x) 为 GF(pn)GF(p^{n}) 中的一个非零元素. 由于 gcd(a(x),g(x))=1gcd(a(x),g(x))=1，因此，存在 GF(p)GF(p) 上的多项式 b(x),c(x)b(x),c(x)，使得 a(x)b(x)+g(x)c(x)=1a(x)b(x)+g(x)c(x)=1. 由此得到 a(x)a(x) 的逆元为 a−1(x)=b(x)modg(x)a^{-1}(x)=b(x)\mod g(x).
域 GF(pn)GF(p^{n}) 称为 GF(p)GF(p) 的（nn 次）扩域(extension field)，而 GF(p)GF(p) 称为 GF(pn)GF(p^{n}) 的子域(subfield).
例注2.1： 给定 GF(p)GF(p) 上的多项式 a(x)a(x) 和 g(x)g(x)，例2中的等式 a(x)b(x)+g(x)c(x)=1a(x)b(x)+g(x)c(x)=1 可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得 GF(pn)GF(p^{n}) 中任意非零元素的逆元.
例注2.2：设 GF(q)GF(q) 是一个含有 qq 个元素的有限域. 对任意正整数 nn, GF(q)GF(q) 上的 nn 次不可约多项式一定存在. 更进一步，GF(q)GF(q) 上首项系数为 11 的 nn 次不可约多项式的个数为
Nq(n)=1n∑d|nμ(nd)qd=1n∑d|nμ(d)qn/dN_{q}(n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})q^{d}=\frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu(d)q^{n/d}
其中 μ\mu 为Moebius函数，定义为μ(m)=⎧⎩⎨1(−1)k0如果m=1如果m=p1p2⋯pk,其中p1,p2,…,pk为互不相同的素数其它\mu(m)=\begin{cases}1 & 如果 m=1\\ (-1)^{k} & 如果 m=p_{1}p_{2}\cdots p_{k},其中 p_{1},p_{2},\dots,p_{k}为互不相同的素数\\ 0 & 其它\end{cases}
1.2 有限域的性质
令 GF(q)GF(q) 是一个含有 qq 个元素的有限域，F∗q=GF(q)∖{0}F^{*}_{q}=GF(q)\setminus\{0\} 为有限域 GF(q)GF(q) 中所有非零元素构成的集合. 则在乘法之下 F∗qF^{*}_{q} 是一个有限循环群. 循环群 F∗qF^{*}_{q} 的一个生成元称为有限域 GF(q)GF(q) 的一个本原元.
若 α∈GF(q)\alpha\in GF(q) 为一个本原元，则
GF(q)={0,1,α,α2,…,αq−2}GF(q)=\{0,1,\alpha,\alpha^{2},\dots,\alpha^{q-2}\}
并且 αq−1=1\alpha^{q-1}=1，即 αq=α\alpha^{q}=\alpha.定义：设 GF(q)GF(q) 是一个含有 qq 个元素的有限域，GF(p)GF(p) 是 GF(q)GF(q) 的一个含有 pp 个元素的子域（pp 不一定为素数），α∈GF(q)\alpha\in GF(q). 则 GF(p)GF(p) 上以 α\alpha 为根，首项系数为 11，并且次数最低的多项式称为 α\alpha 在 GF(p)GF(p) 上的极小多项式(minimal polynomial of α\alpha over GF(p)GF(p)).
特别地，若 α∈GF(q)\alpha\in GF(q) 为 GF(q)GF(q) 的一个本原元，则 α\alpha 在 GF(p)GF(p) 上的极小多项式称为 GF(p)GF(p) 上的一个本原多项式(primitive polynomial for GF(q)GF(q) over GF(p)GF(p)).
定义注1：对任意的 α∈GF(q)\alpha\in GF(q)， α\alpha 在 GF(p)GF(p) 上的极小多项式存在并且唯一，并且 α\alpha 在 GF(p)GF(p) 上的极小多项式为 GF(p)GF(p) 上的一个不可约多项式.
定义注2：设 α∈GF(q)\alpha\in GF(q)， 则 α\alpha 和 αp\alpha^{p} 在 GF(p)GF(p) 上具有相同的极小多项式. 更进一步，集合
B(α)={α,αp,αp2,αp3,…,αpi,…}B(\alpha)=\{\alpha,\alpha^{p},\alpha^{p^{2}},\alpha^{p^{3}},\dots,\alpha^{p^{i}},\dots\}
中的元素具有相同的极小多项式. 设 q=pnq=p^{n}，则 αpn=α\alpha^{p^{n}}=\alpha. 因此，集合 B(α)B(\alpha) 中互不相同的元素的个数（记为 rr）不超过 nn. 可以证明， α\alpha 为 GF(q)GF(q) 的一个本原元当且仅当 r=nr=n.定理：设 GF(q)GF(q) 是一个含有 qq 个元素的有限域，GF(p)GF(p) 是 GF(q)GF(q) 的一个含有 pp 个元素的子域. 设 α∈GF(q)\alpha\in GF(q)，rr 为满足 αpr=α\alpha^{p^{r}}=\alpha 的最小正整数. 则 α\alpha 在 GF(p)GF(p) 上的极小多项式 g(x)g(x) 是一个 rr 次不可约多项式，并且
B(α)={α,αp,αp2,…,αpr−1}B(\alpha)=\{\alpha,\alpha^{p},\alpha^{p^{2}},\dots,\alpha^{p^{r-1}}\}
中的元素为 g(x)g(x) 在 GF(q)GF(q) 上的所有不同的根，即g(x)=(x−α)(x−αp)(x−αp2)⋯(x−αpr−1).g(x)=(x-\alpha)(x-\alpha^{p})(x-\alpha^{p^{2}})\cdots(x-\alpha^{p^{r-1}}).
注：rr 的计算方法如下：设 α\alpha 在 F∗qF^{*}_{q} 中的阶为 kk. 集合
Z∗k={m | 0≤m≤k−1,gcd(m,k)=1}\mathbb{Z}^{*}_{k}=\{m\ |\ 0\leq m\leq k-1, gcd(m,k)=1\}
在模 kk 乘法运算下是一个含有 φ(k)\varphi(k) 个元素的有限群（其中 φ\varphi 为欧拉(Euler)函数）. 则 rr 等于 pmodkp\mod k 在 Z∗k\mathbb{Z}^{*}_{k} 中的阶.推论：设 GF(q)GF(q) 是一个含有 qq 个元素的有限域，GF(p)GF(p) 是 GF(q)GF(q) 的一个含有 pp 个元素的子域. 设 |GF(q)|=pn|GF(q)|=p^{n}，即 q=pnq=p^{n}. 设 α∈GF(q)\alpha\in GF(q) 为 GF(q)GF(q) 的一个本原元，则 α\alpha 在 GF(p)GF(p) 上的极小多项式 g(x)g(x) 的次数为 nn，并且
g(x)=(x−α)(x−αp)(x−αp2)⋯(x−αpn−1).g(x)=(x-\alpha)(x-\alpha^{p})(x-\alpha^{p^{2}})\cdots(x-\alpha^{p^{n-1}}).
更进一步，α,αp,αp2,…,αpn−1\alpha,\alpha^{p},\alpha^{p^{2}},\dots,\alpha^{p^{n-1}} 均为 GF(q)GF(q) 的本原元.注：设 GF(p)GF(p) 是一个含有 pp 个元素的有限域，nn 是任意一个正整数，则 GF(p)GF(p) 上的 nn 次本原多项式一定存在. 更进一步，GF(p)GF(p) 上的首项系数为 11 的 nn 次本原多项式的个数为 φ(pn−1)n\frac{\varphi(p^{n}-1)}{n}，其中 φ\varphi 为欧拉函数.
例3 考虑二元域 GF(2)GF(2) 上的不可约多项式 p(α)=α3+α+1p(\alpha)=\alpha^{3}+\alpha+1，构造有限域
GF(23)=GF(2)[α]/⟨p(α)⟩={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.GF(2^{3})=GF(2)[\alpha]/\langle p(\alpha)\rangle=\{0,1,\alpha,\alpha+1,\alpha^{2},\alpha^{2}+1,\alpha^{2}+\alpha,\alpha^{2}+\alpha+1\}.
容易验证，α,α2,α3,α4,α5,α6\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3},\alpha^{4},\alpha^{5},\alpha^{6} 都是 GF(23)GF(2^{3}) 的本原元. GF(2)GF(2) 上的首项系数为 11 的 33 次本原多项式有两个，分别为
(i) α,α2,α4\alpha,\alpha^{2},\alpha^{4} 在 GF(2)GF(2) 上的极小多项式g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α4)=x3+x+1g(x)=(x+\alpha)(x+\alpha^{2})(x+\alpha^{4})=x^{3}+x+1
(ii) α3,α5,α6\alpha^{3},\alpha^{5},\alpha^{6} 在 GF(2)GF(2) 上的极小多项式g(x)=x3+x2+1g(x)=x^{3}+x^{2}+1
有限域 GF(p)GF(p) 上的本原多项式一定是 GF(p)GF(p) 上的不可约多项式；但是，GF(p)GF(p) 上的不可约多项式不一定是 GF(p)GF(p) 上的本原多项式.
定理：设 GF(q)GF(q) 是一个含有 qq 个元素的有限域，GF(p)GF(p) 是 GF(q)GF(q) 的一个含有 pp 个元素的子域， g(x)g(x) 是 GF(p)GF(p) 上的一个不可约多项式. 则 g(x)g(x) 为 GF(p)GF(p) 上的本原多项式当且仅当 g(x)g(x) 在 GF(q)GF(q) 上的根都是 GF(q)GF(q) 的本原元.
下面例子说明不可约多项式不一定是本原多项式.
例4 考虑二元域 GF(2)GF(2) 上的不可约多项式 p(x)=x4+x3+x2+x+1p(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1，构造有限域
GF(24)=GF(2)[x]/⟨p(x)⟩={a+bx+cx2+dx3 | a,b,c,d∈GF(2)}.GF(2^{4})=GF(2)[x]/\langle p(x)\rangle=\{a+bx+cx^{2}+dx^{3}\ |\ a,b,c,d\in GF(2)\}.
显然，x∈GF(24)x\in GF(2^{4}). 由于 x5=1x^{5}=1，即 xx 的阶为 55，因此，xx 不是 GF(24)GF(2^{4}) 的本原元. 于是， p(x)p(x) 不是 GF(2)GF(2) 上的本原多项式. 另外，可以验证 x+1x+1 是 GF(24)GF(2^{4}) 的本原元.2 Matlab 中的有限域计算函数
Matlab 中自带的有限域的计算是在 GF(2m)GF(2^{m}) 上进行的，即在二元域 GF(2)GF(2) 的扩域中进行计算，其中 1≤m≤161\leq m\leq 16.
由 “1.1 有限域的构造” 的 “例2” 可知，我们只需先找到一个 GF(2)GF(2) 上的 mm 次不可约多项式 g(x)g(x)，得到集合 GF(2)[x]/⟨g(x)⟩GF(2)[x]/\langle g(x)\rangle，然后定义其上的加法和乘法分别为模 g(x)g(x) 加法和模 g(x)g(x) 乘法，即得到有限域 GF(2m)GF(2^{m}).
然而，这样得到的有限域 GF(2m)GF(2^{m}) 中，元素 xx 未必是本原元，这将给后面的（乘法）运算带来很多麻烦. 因此，在不可约多项式 g(x)g(x) 的挑选上，我们最好选择一个本原多项式. 这其实就是 Matlab 中的做法.
Matlab 中 GF(2m)GF(2^{m}) 的元素： 在 Matlab 中 GF(2m):=GF(2)[D]/⟨p(D)⟩GF(2^{m}):=GF(2)[D]/\langle p(D)\rangle，其中 p(D)p(D) 为一个 GF(2)GF(2) 上的 mm 次本原多项式.
GF(2m)={am−1Dm−1+am−2Dm−2+⋯+a1D+a0, | ai∈GF(2),0≤i≤m−1}GF(2^{m})=\{a_{m-1}D^{m-1}+a_{m-2}D^{m-2}+\cdots+a_{1}D+a_{0},\ |\ a_{i}\in GF(2), 0\leq i\leq m-1\}
因此，每个 GF(2m)GF(2^{m}) 中的元素本质上是一个次数小于 mm 的多项式，每个元素和多项式之间有“1-1”对应关系. 例如，取 m=3m=3 和本原多项式 p(D)=D3+D+1p(D)=D^{3}+D+1，则我们得到有限域 GF(23)GF(2^{3})，其中的元素和多项式之间的对应关系如下：
GF(23)GF(2^{3}) GF(2)[D]/⟨p(D)⟩GF(2)[D]/\langle p(D)\rangle 二进制 0 00 000 1 11 001 2 DD 010 3 D+1D+1 011 4 D2D^{2} 100 5 D2+1D^{2}+1 101 6 D2+DD^{2}+D 110 7 D2+D+1D^{2}+D+1 111 GF(2)GF(2) 上的多项式由系数组成的二进制所对应的（十进制）数字来表示. 例如，多项式 p(D)=D3+D+1p(D)=D^{3}+D+1 的系数组成的二进制为 10111011，因此，多项式 p(D)p(D) 表示为数字 1111.
2.1 定义有限域数组
在 Matlab 中，函数 gf 用来定义一个有限域数组，函数申明如下：
X_GF = GF(X,M,PRIM_POLY)函数创建有限域 GF(2M)GF(2^{M}) 上的一个数组，使用的 GF(2)GF(2) 上的 M 次本原多项式为 PRIM_POLY； M 是一个 11 至 1616 之间的整数；数组 X 中的元素为 00 至 2M−12^{M}-1 之间的数.
例如，生成有限域 GF(23)GF(2^{3}) 中的所有元素，并令本原多项式为 p(D)=D3+D2+1p(D)=D^{3}+D^{2}+1.
>> GF8 = gf(0:7,3,13)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)Array elements = 0 1 2 3 4 5 6 7如果不指定本原多项式，则 Matlab 将使用默认本原多项式. 例如
>> gf(0:7,3)ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)Array elements = 0 1 2 3 4 5 6 7在这里例子中，Matlab 使用了 33 次本原多项式 D3+D+1D^{3}+D+1.
如果不指定次数 M 和本原多项式 PRIM_POLY，则生成二元域 GF(2)GF(2) 中的元素.
>> gf(0:1)ans = GF(2) array. Array elements = 0 1生成的有限域中的数组可以参与运算（+、、.、.^、\等). 注意：参与运算的操作数必须来自同一个有限域，用于生成有限域的本原多项式也必须相同！
一个典型的例子是计算有限域的乘法表如下：
>> GF8 = gf(0:7,3)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)Array elements = 0 1 2 3 4 5 6 7>> GF8'*GF8ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)Array elements = 0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 70 2 4 6 3 1 7 50 3 6 5 7 4 1 20 4 3 7 6 2 5 10 5 1 4 2 7 3 60 6 7 1 5 3 2 40 7 5 2 1 6 4 3>> GF8 = gf(0:7,3,13)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)Array elements = 0 1 2 3 4 5 6 7>> GF8'*GF8 Warning: Lookup tables not defined for this order 2^3 and primitive polynomial 13. Arithmetic still works correctly but multiplication, exponentiation, and inversion of elements is faster with lookup tables. Use gftable to create and save the lookup tables. > In gf.gettables at 35In gf.mtimes at 20ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)Array elements = 0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 70 2 4 6 5 7 1 30 3 6 5 1 2 7 40 4 5 1 7 3 2 60 5 7 2 3 6 4 10 6 1 7 2 4 3 50 7 3 4 6 1 5 2在这里我们用两个不同的本原多项式构造有限域 GF(23)GF(2^{3})，得到两张不同的乘法表.
注1：当我们计算 GF(2)[D]/⟨D3+D2+1⟩GF(2)[D]/\langle D^{3}+D^{2}+1\rangle 的乘法表时，Matlab 给产生一个警告 “Warning: Lookup tables not defined for this order 2^3 and primitive polynomial 13.” 从警告中我们可以看出，Matlab 中有限域的乘法是通过查表来完成的，这样可以显著地提高计算的速度. 我们可以通过命令 gftable 来创建并保存查找表格.
注2：用本原多项式 D3+D+1D^{3}+D+1 和 D3+D2+1D^{3}+D^{2}+1 生成两个不同的元素个数为 88 的有限域，然而这两个有限域是同构的. 一般地，我们有如下有限域同构定理：定理： 任意两个元素个数相同的有限域一定同构.
与本原元多项式相关的函数
primpoly
函数 primpoly 用于计算 GF(2)GF(2) 上的本原多项式，函数申明如下：
PR = PRIMPOLY(M, OPT, 'nodisplay')其中 M 为本原多项式的次数，其取值为 22 至 1616 之间的整数；选项 OPT 的定义如下：
OPT = 'min' 给出一个权值最小的本原多项式 OPT = 'max' 给出一个权值最大的本原多项式 OPT = 'all' 给出所有的本原多项式 OPT = L 给出所有权值为L的本原多项式字符串 ‘nodisplay’ 用于关闭默认的本原多项式显示方式.
例如，输出 GF(2)GF(2) 上所有次数为 33 的本原多项式.
>> primpoly(3,'all')Primitive polynomial(s) = D^3+D^1+1 D^3+D^2+1ans =11 13>> primpoly(3,'all','nodisplay')ans =11 13isprimitive
函数 isprimitive 用来检查 GF(2)GF(2) 上的多项式是否为本原多项式，函数申明如下：
CK = ISPRIMITIVE(A)其中 A 为一个表示多项式的数字，并且表示的多项式的次数不能超过 1616. 如果 A 为本原多项式，则返回 11；否则返回 00.
例如，检查多项式 D3+D2+1D^{3}+D^{2}+1 和 D3+D2+D+1D^{3}+D^{2}+D+1 是否为本原多项式如下：
>> isprimitive(13)ans =1>> isprimitive(15)ans =0其它函数
见 Matlab 帮助.
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