信号与系统研讨（二）归一化正交函数在匹配滤波器中的应用

对于两个函数u(t)u(t)u(t)和v(t)v(t)v(t)，如果
∫abu(t)v∗(t)dt=0\int_a^b u(t)v^*(t)dt=0 ∫abu(t)v∗(t)dt=0
则称u(t)u(t)u(t)和v(t)v(t)v(t)在区间(a,b)(a,b)(a,b)上是正交的。如果另外有
∫ab∣u(t)∣2dt=1=∫ab∣v(t)∣2dt\int_a^b |u(t)|^2dt=1=\int_a^b|v(t)|^2dt ∫ab∣u(t)∣2dt=1=∫ab∣v(t)∣2dt
则称这两个函数是归一化的。因此称这两个函数为归一化正交。如果在一个函数集{ϕk(t)}\{\phi_k(t)\}{ϕk(t)}中，每一对函数都是正交（或归一化正交）的，则称这个函数集为正交（或归一化正交）函数集。

我们发现对于一个实正交函数集ϕ1(t),⋯,ϕN(t)\phi_1(t),\cdots,\phi_N(t)ϕ1(t),⋯,ϕN(t)，若他们仅在时间区间0≤t≤T0\le t\le T0≤t≤T上是非零的。则可以找到一个线性时不变系统，其单位冲激响应为hi(t)=ϕi(T−t)h_i(t)=\phi_i(T-t)hi(t)=ϕi(T−t)，若输入信号为ϕj(t)\phi_j(t)ϕj(t)，当i=ji=ji=j时，在时刻TTT，系统的输出是111；当i≠ji\not= ji=j时，在时刻TTT，系统的输出为000。其证明如下：

设系统响应为y(t)y(t)y(t)，则在时刻TTT有
y(T)=hi(t)∗ϕj(t)=∫−∞∞hi(T−τ)ϕj(τ)dτ=∫0Tϕi(τ)ϕj(τ)dτ\begin{aligned} y(T)&=h_i(t)*\phi_j(t)\\ &=\int_{-\infin}^\infin h_i(T-\tau)\phi_j(\tau)d\tau\\ &=\int_{0}^T \phi_i(\tau)\phi_j(\tau)d\tau \end{aligned} y(T)=hi(t)∗ϕj(t)=∫−∞∞hi(T−τ)ϕj(τ)dτ=∫0Tϕi(τ)ϕj(τ)dτ
当i≠ji\not=ji=j时，由于该函数集内均为实函数，故有ϕi(t)=ϕi∗(t)\phi_i(t)=\phi_i^*(t)ϕi(t)=ϕi∗(t)，所以
y(T)=∫−∞∞ϕi(τ)ϕj(τ)dτ=∫0Tϕi(τ)ϕj∗(τ)dτ=0\begin{aligned} y(T)&=\int_{-\infin}^\infin \phi_i(\tau)\phi_j(\tau)d\tau\\ &=\int_{0}^T \phi_i(\tau)\phi_j^*(\tau)d\tau\\ &=0 \end{aligned} y(T)=∫−∞∞ϕi(τ)ϕj(τ)dτ=∫0Tϕi(τ)ϕj∗(τ)dτ=0
而当i=ji=ji=j时，有
y(T)=∫−∞∞ϕi(τ)ϕi(τ)dτ=∫0T∣ϕi(τ)∣2dτ=1\begin{aligned} y(T)&=\int_{-\infin}^\infin \phi_i(\tau)\phi_i(\tau)d\tau\\ &=\int_{0}^T |\phi_i(\tau)|^2d\tau\\ &=1 \end{aligned} y(T)=∫−∞∞ϕi(τ)ϕi(τ)dτ=∫0T∣ϕi(τ)∣2dτ=1

因此，对于一个归一化正交的函数集，系统响应为hi(T−t)h_i(T-t)hi(T−t)的线性时不变系统可以很好地从该集合里找到需要匹配的信号，是一个较为优秀的匹配滤波器。

可以用matlab对这个性质加以验证，这里以函数ϕk(t)=1T[cos⁡kω0t+sin⁡kω0t]\phi_k(t)=\frac{1}{\sqrt{T}}[\cos k\omega_0t+\sin k\omega_0t]ϕk(t)=T1[coskω0t+sinkω0t]为例，验证代码如下：

omega0=2.*pi;
T=2.*pi/omega0;
syms x
res=int(phi(T,1,omega0,x)*phi(T,100,omega0,x),0,T);
disp(res);
function r = phi(T,k,omega,t)r=1.0./sqrt(T).*(cos(k*omega*t)+sin(k*omega*t));
end

通过不断调整两个函数的kkk值，可以发现只有当i=ji=ji=j时，TTT时刻的输出才为111，否则为000。

特别地，对于函数集ϕk(t)=ejkω0t\phi_k(t)=e^{jk\omega_0t}ϕk(t)=ejkω0t，由于
∫0Tejk1ω0t(ejk2ω0t)∗dt,k1≠k2andk1,k2∈N+=∫0Tej(k1−k2)ω0tdt=ej(k1−k2)ω0tj(k1−k2)ω0∣0T=ej(k1−k2)ω02πω0j(k1−k2)ω0−1=0\begin{aligned} &\int_0^T e^{jk_1\omega_0t}(e^{jk_2\omega_0t})^*dt\ \ \ \ \ ,k_1\not=k_2 \ and\ k_1,k_2\in N_+ \\ =&\int_0^T e^{j(k_1-k_2)\omega_0t}dt\\ =&\frac{e^{j(k_1-k_2)\omega_0t}}{j(k_1-k_2)\omega_0}|^T_0\\ =&\frac{e^{j(k_1-k_2)\omega_0\frac{2\pi}{\omega_0}}}{j(k_1-k_2)\omega_0}-1\\ =0 \end{aligned} ====0∫0Tejk1ω0t(ejk2ω0t)∗dt ,k1=k2 and k1,k2∈N+∫0Tej(k1−k2)ω0tdtj(k1−k2)ω0ej(k1−k2)ω0t∣0Tj(k1−k2)ω0ej(k1−k2)ω0ω02π−1

其在区间(0,T=2πω0)(0,T=\frac{2\pi}{\omega_0})(0,T=ω02π)上是正交的，但由于
∫0T∣ejkω0t∣2dt=∫0T1dt=T\begin{aligned} \int_0^T |e^{jk\omega_0t}|^2 dt=\int_0^T1dt=T \end{aligned} ∫0T∣ejkω0t∣2dt=∫0T1dt=T
其并非归一化的函数集，不过通过归一化公式，将该函数变为1Tejkω0t\frac{1}{\sqrt{T}}e^{jk\omega_0t}T1ejkω0t后，该函数即

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