《信号与系统》解读第5章通信系统中的调制解调：频谱搬移、幅度调制、脉冲调制、频率调制、相位调制、频分复用、时分复用

本文将从时域与频域的角度解读“系统”通过正弦载波信号，对输入的时域基带信号，进行“调制”的过程，并输出调制后的时域混频信号。

解调是调制的反过程，“系统”通过正弦载波信号，对输入的调制后的时域混频信号，在进行进行“调制”的过程，并还原出原始的时域基带信号，这个过程就是解调。

调制和解调，不仅仅用于将信息嵌入到适合信道传输的信号中，还可以把不同频谱的信号，通过所谓“复用”的技术在同一信道上进行传输，而不产生干扰，这就是复用与解复用，这是频谱分析的另一个重要应用。

在实际的移动通信系统，采用不同的移动通信技术，采用不同的"调制、解调"和“多路复用”的方法，本文只解读常见方法，并不关联到具体的移动通信系统，如2G/3G/4G/5G。

1. 为什么要对原始信号进行调制？

2. 什么是调制解调？

3. 调制解调的系统模型

3.1 调制模型

3.2 解调模型

4. 调制和解调到底是什么样的运算？

4.1 从时域的角度看调制：原始信号与载波信号的相乘。

4.2 从频率的角度看调制：原始信号的频谱搬移到载波信号的频谱附近

4.3 从时域的角度看解调：调制后信号与载波信号的相乘。

4.4 从频率的角度看解调：把载波频谱附近的原始信号的频谱搬移到原始信号的频谱附近

5. 复指数载波幅度、相位调制与解调

5.1 复指数载波幅度、相位调制

5.2 复指数载波幅度、相位解调

6. 正弦波幅度调制与解调

6.1 正弦波幅度调制

6.2 正弦波幅度解调---同步解调

6.3 正弦波幅度解调---非同步解调（硬件解调）

7. 频分多路复用FDM

7.1 频分多路复用FDM的调制

7.2 频分多路复用FDM的解调

8. 脉冲串载波调制与解调

8.1 脉冲串幅度调制

8.2 脉冲信号的时分复用

9. 脉冲串幅度调制与解调PAM、PCM

10. 频率调制

11. 离散信号幅度调制

11.1 离散正弦载波幅度调制

11.2 多路复用

1. 为什么要对原始信号进行调制？

（1）每种传输信道，都有自己最佳的信号传输频率，低频的基带数据（如语音信号）不适合直接在自由空间的无线信道中进行传输。

（2）无线传输的天线与信号传输的频率成反比，频率越高，天线越长，低频信号的发送和接收，需要太长的天线。

（3）同一信道需要复用多个用户的数据，先把多个用户数据调制在一起进行传输。

因此，

调制的目的：是对原始的时域信号进行某种运算，产生一个适合所在信道传输的另一个频率的信号。

解调的目的：对调制后的时域信号进行某种运算，还原出原先的时域信号。

2. 什么是调制解调？

（1）调制的定义

调制就是用基带信号去控制载波信号的某个或几个参量的变化，将信息荷载在其上形成已调信号传输。

而解调是调制的反过程，通过具体的方法从已调信号的参量变化中将恢复原始的基带信号。

根据所控制的信号参量的不同，调制可分为：

调幅AM，使载波的幅度随着调制信号的大小变化而变化的调制方式。

调频FM，使载波的瞬时频率随着调制信号的大小而变，而幅度保持不变的调制方式。

调相PM，利用原始信号控制载波信号的初始相位。

因为频率的改变，也会改变原先信号的相位，因此频率调制和相位调制，大多数时候，统称为角度调制。

单位时间内角度的变化就是单位时间内的角频率。

瞬时角度的变化就是瞬时角频率。

角频率在某段时间内的积分，就是这段时间内角度的变化的和。

这就是正弦波的角频率频率与相位的辨证关系！

（2）载波信号的类型

复指数信号：常用于基带数字调制
正弦余弦信号：常用于射频模拟调制
瞬间脉冲信号：常用于模拟信号转换数字信号
矩形脉冲信号：常用于基带数字调制，在移动通信系统中个，与复指数信号联合使用

（3）调制的本质

时域：函数相乘
频域：频谱搬移

3. 调制解调的系统模型

3.1 调制模型

在此模型中，包含了三种调制：

（1）数字基带调制：PSK、QAM调制

（2）模拟基带调制：IQ调制

（3）模拟射频调制：幅度混频调制

3.2 解调模型

在此模型中，包含了三种调制：

（1）数字基带解调：PSK、QAM解调

（2）模拟基带解调：IQ解调

（3）模拟射频解调：幅度混频解调

4. 调制和解调到底是什么样的运算？

4.1 从时域的角度看调制：原始信号与载波信号的相乘。

$f(t) = x(t) * e^{jw0t}$

4.2 从频率的角度看调制：原始信号的频谱搬移到载波信号的频谱附近

4.3 从时域的角度看解调：调制后信号与载波信号的相乘。

$f(t) = x(t) * e^{jw0t} * e^{-jw0t}$

4.4 从频率的角度看解调：把载波频谱附近的原始信号的频谱搬移到原始信号的频谱附近

5. 复指数载波幅度、相位调制与解调

5.1 复指数载波幅度、相位调制

（1）物理模型

每一路都是幅度调制，

输入为x(t)，

输出作为累加器的输入

最终的输出y(t)是两路幅度调制后信号的线性叠加

由于是“同频率”，不同初始相位的线性叠加，因此“累加器”的输出效果是相位、幅度调制。

（2）时域图形表示

（3）时域数学表示

复指数载波信号： $c(t)= e^{jWc*t}$

输出的调制信号： $y(t) = x(t) * e^{jWc*t}$

（4）频域图形表示

（5）频域数学表达

$C(jW) = 2\pi*\delta (W-Wc)$ => 在频谱图上，是一个位于Wc的脉冲，幅度微分为2π。

$Y(jW) = X(jW-jWc)$ =》频谱搬移

5.2 复指数载波幅度、相位解调

（1）物理模型

（2）时域图形表示

（3）时域数学表示

$y(t) = x(t) * e^{jWc * t}$

$x(t) = y(t) * e^{-jWc*t} = x(t) * e^{jWc*t} * e^{-jWc*t} = x(t)$

（4）频域图形表示

解调就把调制后的信号的频谱，重新搬移到原信号的频谱处！

（5）频域数学表达

$X(jW) = Y(jw) * C(-jWc) = X(jW-jWc + jWc) = X(jW)$

6. 正弦波幅度调制与解调

6.1 正弦波幅度调制

（1）物理模型

非常

（2）时域图形表示

（3）时域数学表示

$f(t) = x(t) * cos(Wc*t)$

（4）频域图形表示

这里有一个奇怪的现象：就是单音载波信号cos(Wc*t)在频谱图上有对称的谐波频率，一个是Wc，一个是-Wc，其幅度都为π。

为啥不是一个Wc? 其频谱幅度为啥是π，而不是复指数的2π？

其实，这与傅里叶变换有关，傅里叶变换：

为了支持复指数运算
为了能够用谐波分量表示任何的时域信号，把频率域从正数域扩展到了负数，负频率与正频的区别是，逆时针选择时，频率表示正，瞬时帧旋转时，频率为复数。

基于上述两个原因，任何时域信号能够用支持负频率的复指数信号表示。

$sin(Wt) =\frac{e^{W*t} - e^{-W*t}}{2}$

$cos(Wt) = \frac{e^{W*t} + e^{-W*t}}{2}$

cosx和sinx的载波信号，可以分解成两个复指数信号的线性和。

一个是正频率的复指数信号。

一个是负频率的复指数信号。

正弦波幅度解调缺点：调制后信号的带宽是原始时域信号带宽的2倍，包括正弦波的负频率和正弦波的正频率，其实，解调只需要一般就可了。

也就是说，利用正弦波调制是，调制后的信号中，信息是冗余的，在控制发送的电磁波信号的能量有多余的部分。

当然，可以通过带通滤波器或移相技术，实现单边带调制，来克服上述的问题。

（5）频域数学表达

$Y(jW) = \frac{X(jW-jWc) + X(jW+jWc)}{2}$

原始信号x（t）的频谱被搬移到了Wc和-Wc处，频谱幅度为原先幅度的1/2，也就是时域信号的能量分布在两个频谱处。

6.2 正弦波幅度解调---同步解调

解调是调制的反过程。

同步解调：用于解调的载波信号Wc与原始信号调制时的载波信号Wc是“同频”、“同相”的，因此称之为同步解调。

（1）物理模型

相比调制，多出了一个低通滤波器和一个放大器。

（2）时域图形表示

（3）时域数学表示

$W(t) = f(t) * cos(Wc*t)$

$W(t) = x(t) * cos(Wc*t) * cos(Wc*t)$

$W(t) = x(t) * {cos(Wc*t)}^2$

$cos(Wc*t)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} * cos(2wt)$

$W(t) = \frac{1}{2} * x(t) + \frac{1}{2} * x(t) * cos(2wt)$

显然，与复指数不同，解调后的时域信号中：

不仅仅包含原信号x(t), 且还包含了cos(2*w*t)*x(t)的信号。因此解调时，需要低通滤波器，滤除该高频信号。
信号的幅度是原先信号幅度的1/2.
经过调制和解调，x(t)信号的解调会原先的频谱的同时，也被进一步调制到更高的频谱2w处，但幅度/能量也被分摊到了，因此解调时，需要放大器，恢复原先信号的幅度。

（4）频域图形表示

在解调时，由于在调制信号的基础上，由一次乘以cos(Wc*t)., 又一次进行了频谱搬移。

这里有一个问题：如果解调的载波信号与调制时的载波信号，不同频会是什么结果？如果同频，但不同相位会是什么结果？

答：

不同频时：则在频率搬移时，就无法搬移到原先的位置处，会有频谱的错位。

同频不同相时：能够正确的进行频谱搬移，但是频谱的幅度会降低, 量化的标准是在原先频谱幅度的基础上乘以cos（x），x为调制载波和解调载波的相位差。

（5）频域数学表达

$Y(jW) = \frac{X(jW+j2Wc)}{4} + \frac{X(jW)}{2} + \frac{X(jW-j2Wc)}{4}$

6.3 正弦波幅度解调---非同步解调（硬件解调）

非同步解调：解调时，不需要与调制信号相同频率和相位的载波信号，实际上，不需要任何载波信号，可以通过包络检波的方式进行解调。

非同步解调的条件：

调制时的载波信号的频率远远大于原始的基带信号的频率。
原始的基带信号的幅度值必须全部大于0，可以通过添加直流分量的方式，使得基带信号满足这个条件, 即x(t) + A > 0; A为直流分量的值。

如下图所示：

非同步解调的缺点：添加的直流分量，只是为了解调的需要，其实并不含有信息，因此属于能量的浪费。

非同步解调的优点：物理电路简单，成本较低，在民用的无线电接收机中得到了广泛的应用。如下图所示，不需要载波信号就可以进行解调。

（1）物理模型

（2）时域图形表示

已调波形

包络检波

7. 频分多路复用FDM

在实际通信系统中，通常传输信道能够提供比单路或单用户所需要的带宽大得多的频谱带宽。因此，多用户复用同一个物理无线信道就尤为重要。

通过载波频率来区分子信道是一种常用的多路复用的技术，即频分多路复用FDM技术。

比如，假设单路语音信号只需要10K的基带信号带宽，移动通信系统提供25M的小区带宽，这样25M的频谱带宽就可以同时传输25M/10K=2500路语音信号。

7.1 频分多路复用FDM的调制

（1）物理模型

多路时域信号，分别用不同频率的载波进行独立调制，然后叠加在一起进行传输。这就是频分复用。

利用的就是不同频率信号的线性叠加原理。

（2）频谱图

不同频率的信号，线性叠加起来，相关不干扰，只要他们的频谱不重叠，就可以通过带通滤波器把他们分离出来。这就是解复用的过程！如下所示！

7.2 频分多路复用FDM的解调

（1）物理模型

先通过带通滤波器进行解复用，这是频分复用的关键！

然后通过低通滤波器进行解调。这是普通的正弦调制后解调。

（2）频谱图（还原）

8. 脉冲串载波调制与解调

前面解读的是使用时域连续的正弦波或复指数信号作为载波信号，这里解读是用离散的脉冲串作为载波信号！这种类型的幅度调制，相当于等间隔地传输x(t)的时隙样本。

由于脉冲串调制只调制了原始的时域信号的部分时间的信息，因此这种调试方式是有信息损失的，常用于数字信号调制或有损调制的场合。

8.1 脉冲串幅度调制

（1）物理模型

（2）时域信号

已调信号不在是连续波形，而是离散波形。但也不是脉冲波形，脉冲的幅度信息，体现了基带信号的波形。

（3）载波的频谱：脉冲sinc函数。

非周期单位冲击脉冲信号

持续时间τ无限接近于0, 瞬间释放能量，变化及其剧烈，包含所有的频率分量，且所有频率分量的幅度都相等。

非周期矩形脉冲信号（周期无穷大）

持续时间τ等于2T1, 在一段时间内释放能量，变化没有冲击脉冲剧烈，也包含所有的频率分量，为非周期频谱，但所有频率分量的幅度并不相等，越是高频分量，幅度越小，幅度为sinc函数。

周期矩形脉冲信号

【-无穷，+无穷】区间的离散频谱，为周期频谱。幅度为sinc函数。

离散频谱是周期脉冲，周期为2π/T, T为时域信号的周期。

矩形脉冲信号的周期与频谱的“基波”分量的周期一致。

频谱幅度符合sinc函数的规律。

（4）已调信号的频谱图

已调信号频谱：

基带信号的频谱被复制、搬移到载波频谱sinx函数的各个离散点上。

8.2 脉冲信号的时分复用

时域矩形脉冲信号包含了所有的频率分量，因此，如果需要完美的还原原有的时域信号，就不能在同一时间，把两个矩形脉冲信号叠加在一起进行复用。就需要在时间上把不同的矩形脉冲“分开”，串行传输，然后在接收端，在通过时间，把他们再区分开来。

当然，可以通过调制，把脉冲信号先调制到不同的载波上，然后就可以在时间上叠加起来进行传输，这就是FDM频分复用或正交频分OFDM。

9. 脉冲串幅度调制与解调PAM、PCM

PAM: 用离散的矩形脉冲，传递基带模拟信号。PAM通常应用在PCM脉冲编码调制的采样环节。

PCM: 用来离散二进制比特，传递离散的、PAM调制后的矩形脉冲的幅度信息。

详见：《什么是脉冲调制以及脉冲幅度调制PAM与脉冲编码调制PCM的区别？》CSDN

PCM调制很重要，在数字基带调制中应用相当的广泛。

（1）调制后波形

与脉冲载波信号调制不同的是，调制后的波形，每个脉冲不随基带信号的幅度做连续变化，而是一个等幅的方波。

当然，不同方波的幅度是不相同的。

也就是说，调制后的波形是方波信号，方波信号的幅度体现基带信号的幅度。

因此，从研究已调信号，就转为研究不同幅度的周期性方波信号。

（2）调制后时域方波信号的替代波形

（3）已调信号的频谱

已调信号的频谱是方波，就是带通频谱。

（4）无干扰多路复用的方案：时域波形

10. 频率调制

（1）模拟频率调制

基带信号是连续信号，载波信号的频率受控于基带信号幅度，并随着基带信号幅度变化而变化。

（2）数字频率调制

基带信号是数字信号，只有两个幅度0或1。

载波信号的频率受控于基带信号幅度0或1，因此，调制后信号的频率只有两种情形。

（3）方波频率调制

11. 离散信号幅度调制

11.1 离散正弦载波幅度调制

（1）物理模型

输入信号和输出信号是时间离散信号。

（1）基带信号的频谱

离散化后，基带信号的频谱是周期性的、离散谱。

（3）载波信号的频谱

载波信号离散化后，其频谱是由无数个周期性的、离散的、谐波分量构成。

（4）调制后信号频谱

基带信号的频谱被搬移到了载波的离散频谱处！

11.2 多路复用