已经很久没更新这个专栏了，现在让我们先解决一下上一次博客中提出的问题：

什么是纠缠熵面积定律？
前面已经提到过，截断了的MPS是否有效与纠缠熵的面积定律有关（即纠缠熵面积定律告诉我们你的截断维数可以怎么取，我们根据这种方式），而且，我们希望借助纠缠熵面积定律找到一维MPS的截断维数，最后使得MPS中的矩阵维数为1×d，d×d²，d²× χ \chi χ，……， χ \chi χ× χ \chi χ，……， χ \chi χ×d²，d²×d，d×1。用比较物理的话来说，纠缠熵面积定律就是在热力学极限下，对于有短程相互作用构成的哈密顿量，如果其基态相对于激发态有能隙，那么基态的两个部分（A、B两部分构成一个量子体系）之间的纠缠熵正比于它们接触的表面积，式子为：
S A ∣ B ∝ L D − 1 S_{A \mid B} \propto L^{\mathcal{D}-1} SA∣B∝LD−1
L代表A、B接触部分的周长， D \mathcal{D} D代表体系的空间维度，我们知道，量子态的纠缠熵是这么定义的：
S = − ∑ α = 0 D − 1 Λ α 2 ln ⁡ Λ α 2 S=-\sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}^{2} \ln \Lambda_{\alpha}^{2} S=−α=0∑D−1Λα2lnΛα2
Λ \Lambda Λ _{α \alpha α}是奇异值， Λ \Lambda Λ是奇异谱，有时候为了方便，也会把奇异谱中的奇异值排列成一个向量
时间演化是什么？
时间演化顾名思义就是指随着时间的变化状态发生了改变，在量子力学上就是物理状态和观测量随时间的变化，再具体点就是态矢随时间的演化，由此还能引入时间演化算符的概念，就我所知，时间演化算符与薛定谔方程有着一定的联系，并且在TEBD里起着一定的作用暂时了解这么多。

一.维量子格点模型的基态和哈密顿量的期望值的求解

- 1.最大本征值问题
- 2.热力学基础
- ~~3.薛定谔方程~~
~~二.基态和哈密顿量期望值的求解对应的最优化问题~~

1.最大本征值问题

最大本征值问题定义为：假设矩阵本征值为实数，求解给定矩阵的最大本征值及其本征态，即给定一个矩阵M，求解归一化向量V使得：
f = ∣ v T M v ∣ \mathrm{f}=\left|\mathrm{v}^{\mathrm{T}} \mathrm{Mv}\right| f=∣∣vTMv∣∣的值极大化，该最优化问题的解为最大本征态，相应的f值对应最大本征值。
最大本征值的幂级数求法如下：
lim ⁡ K → ∞ M K = Γ 0 K u ( 0 ) u ( 0 ) T \lim _{K \rightarrow \infty} M^{K}=\Gamma_{0}^{K} u^{(0)} u^{(0) T} K→∞limMK=Γ0Ku(0)u(0)T
其中 Γ 0 \Gamma_{0} Γ0和 u ( 0 ) u^{(0)} u(0)为实对称矩阵M对应的最大的唯一本征值和本征向量，有过线性代数基础的能够很好理解这个。

2.热力学基础

热力学量即对应物理量的概率平均值，其式子如下：
O ( β ) = ∑ s 1 , s 2 , … P ( s 1 , s 2 , … ; β ) O ( s 1 , s 2 , … ) O(\beta)=\sum_{s_{1}, s_{2}, \ldots} P\left(s_{1}, s_{2}, \ldots ; \beta\right) O\left(s_{1}, s_{2}, \ldots\right) O(β)=s1,s2,…∑P(s1,s2,…;β)O(s1,s2,…)
其中O是物理值，P是概率，且：
P ( s 1 , s 2 , … ; β ) = e − β E ( s 1 , s 2 , … ) Z P\left(s_{1}, s_{2}, \ldots ; \beta\right)=\frac{e^{-\beta E\left(s_{1}, s_{2}, \ldots\right)}}{Z} P(s1,s2,…;β)=Ze−βE(s1,s2,…)
分号前面的s₁,s₂……表示状态，后面的 β \beta β表示倒温度，为温度的倒数，Z是配分函数，E是能量，配分函数Z可以理解为归一化因子， Z = ∑ s 1 , s 2 , … e − β E ( s 1 , s 2 , … ) Z=\sum_{s_{1}, s_{2}, \ldots} e^{-\beta E\left(s_{1}, s_{2}, \ldots\right)} Z=s1,s2,…∑e−βE(s1,s2,…)

3.薛定谔方程

二.基态和哈密顿量期望值的求解对应的最优化问题

这一篇博客是非常水的，因为后面的内容会比较麻烦，而且再看某一篇关于mps的论文遇到了感觉很物理的障碍（想写的东西也写不出来），因此我一直就没有下定决心去好好写一写其他的东西了，我觉得我大概可以鸽了（除非某一天心血来潮再来写一写），前面的东西或许会有一点帮助，而有关薛定谔方程以及其他的一些东西可以参考某个知乎大佬，认真看下去会有一种恍然大悟的感觉（链接）。下一篇的内容将真正涉及到机器学习。

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