矩阵乘法——矩阵快速幂

矩阵乘法怎么乘

设让矩阵 aaa 乘矩阵 bbb 得到矩阵 ccc，那么 ccc 的第 iii 行第 jjj 个元素的值就等于 aaa 的第 iii 行与 bbb 的第 jjj 列上对应元素相乘的和。

举个例子：
(1234)∗(4321)=(abcd)\left( \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) * \left( \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} a & b\\ c & d\\ \end{array} \right) (1324)∗(4231)=(acbd)
那么对于 aaa 的值，就是第一个矩阵的第一行 (1,2)(1,2)(1,2) 和第二个矩阵的第一列 (4,2)(4,2)(4,2) 的对应元素相乘的和，也就是 a=1×4+2×2=8a=1\times 4+2\times 2=8a=1×4+2×2=8。
再比如 ccc 的值，c=3×4+4×2=20c=3\times 4+4\times 2=20c=3×4+4×2=20
最后的结果是：
(1234)∗(4321)=(852013)\left( \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) * \left( \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 8 & 5\\ 20 & 13\\ \end{array} \right) (1324)∗(4231)=(820513)
可以看出，得到的矩阵 ccc 的行数就是矩阵 aaa 的行数，列数就是矩阵 bbb 的列数。

矩阵乘法的限制

上面提到，ccc 的每一个元素都是矩阵 aaa 某一行与矩阵 bbb 的某一列元素对应元素的乘积的和，那么就有一个限制，就是 aaa 的行要能与 bbb 的列相对应，换句话说，aaa 的列数与 bbb 的行数要相同，否则是做不了矩阵乘法的。

矩阵乘法的性质

矩阵乘法不满足交换律，这个比较显然。

但是结合律和分配律还是满足的。（想想就明白了）

其他东西

矩阵乘法，其实也可以理解为向量乘向量，矩阵 aaa 乘矩阵 bbb，可以将 aaa 的每一行视为一个向量，这个向量的维度就是 aaa 的列数，bbb 的每一列是一个向量，维度为 bbb 的行数，ababab 相乘得到的矩阵 ccc 其实就是 aaa 和 bbb 包含的向量两两的点积，所以要求 aaa 的列数与 bbb 的行数相同。

据说矩阵是为了给线性方程组一个更方便的表示方法，假如有这样一个线性方程组：
{2x+y=5x−y=1\begin{cases} 2x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} {2x+y=5x−y=1
用矩阵表示就是这个样子：
(211−1)∗(xy)=(51)\left( \begin{array}{c} 2 & 1\\ 1 &-1 \end{array} \right)* \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 5\\ 1 \end{array} \right) (211−1)∗(xy)=(51)

用处：

可以用来加速方程的递推。

很经典的，fibonaccifibonaccifibonacci 数列，f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n)=f(n-1)+f(n-2)f(n)=f(n−1)+f(n−2)，那么发现要得出下一项的值的话只需要前两个数即可，那么可以先搞出下面这个矩阵：
(f(x−1)f(x−2))\left( \begin{array}{c} f(x-1)\\ f(x-2) \end{array} \right) (f(x−1)f(x−2))
那么，我们下一步，就是要把这个矩阵变成下面这个矩阵：
(f(x)f(x−1))\left( \begin{array}{c} f(x)\\ f(x-1) \end{array} \right) (f(x)f(x−1))
很显然，只需要让这个矩阵乘上原来的矩阵即可：
(1110)\left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) (1110)
计算过程：
(1110)∗(f(x−1)f(x−2))=(f(x)f(x−1))\left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right)* \left( \begin{array}{c} f(x-1)\\ f(x-2) \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} f(x)\\ f(x-1) \end{array} \right) (1110)∗(f(x−1)f(x−2))=(f(x)f(x−1))

那么，要求 f(n)f(n)f(n) 的话，只需要让 (f(2)f(1))\left( \begin{array}{c}f(2)\\f(1)\end{array}\right)(f(2)f(1))被乘 n−2n-2n−2 次 (1110)\left( \begin{array}{c}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)(1110) 即可。
又因为，矩阵乘法满足结合律，所以可以使用快速幂。
于是，用快速幂求出 (1110)n−2\left( \begin{array}{c}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)^{n-2}(1110)n−2 然后再乘上 (f(2)f(1))\left( \begin{array}{c}f(2)\\f(1)\end{array}\right)(f(2)f(1)) 即可。
代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define mod 1000000007llstruct matrix{int w,h;ll a[10][10];matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}matrix operator *(matrix x){matrix re;re.h=h;re.w=x.w;for(int i=1;i<=re.h;i++)for(int j=1;j<=re.w;j++)for(int k=1;k<=w;k++)re.a[i][j]+=a[i][k]*x.a[k][j],re.a[i][j]%=mod;return re;}
};ll n;int main()
{scanf("%lld",&n);ll m=n-2;matrix a,b;a.w=1;a.h=2;a.a[1][1]=1;a.a[2][1]=1;b.w=2;b.h=2;b.a[1][1]=b.a[1][2]=b.a[2][1]=1;matrix ans;ans.w=-1;while(m>0)//快速幂{if(m%2==1){if(ans.w==-1)ans=b;else ans=ans*b;}b=b*b;m/=2;}if(n<3)printf("1");else printf("%lld\n",(ans*a).a[1][1]);
}

例题

【XR-1】分块题解