算法提高课-数学知识-矩阵乘法-AcWing 1303. 斐波那契前 n 项和：矩阵乘法，快速幂，线性代数

题目分析

来源：acwing
分析：

先利用矩阵运算的性质将通项公式变成幂次形式，然后用快速幂的方法求解第 n项。

斐波那契数列的递推公式：f1=f2=1,fn=fn−2+fn−1(n≥3)f_1 = f_2 =1, f_n = f_{n-2} + f_{n-1}(n \geq3)f1=f2=1,fn=fn−2+fn−1(n≥3)

定义向量 Fn=[fn,fn+1,Sn]F_n = [f_n, f_{n +1}, S_n]Fn=[fn,fn+1,Sn],其中fnf_{n }fn和fn+1f_{n +1}fn+1 分别表示斐波那契数列的第n项和第n+1项，而且SnS_nSn表示斐波那契数列的前n项和。则F1=[f1,f2,S1]=[1,1,1]F_1 = [f_1, f_{2}, S_1] =[1,1,1]F1=[f1,f2,S1]=[1,1,1]

我们要找到递推关系式，即找到 Fn+1=[fn+1,fn+2,Sn+1]F_{n+1} = [f_{n+1}, f_{n +2}, S_{n+1}]Fn+1=[fn+1,fn+2,Sn+1]和 Fn=[fn,fn+1,Sn]F_n = [f_n, f_{n +1}, S_n]Fn=[fn,fn+1,Sn]的关系

我们找到矩阵A=[010111001]A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0& 0& 1 \\\end{bmatrix}A=⎣⎡010110011⎦⎤
可以得到
[fn+1,fn+2,Sn+1]=[fn,fn+1,Sn][010111001][f_{n+1}, f_{n +2}, S_{n+1}] = [f_n, f_{n +1}, S_n]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0& 0& 1 \\\end{bmatrix}[fn+1,fn+2,Sn+1]=[fn,fn+1,Sn]⎣⎡010110011⎦⎤

即：Fn+1=FnAF_{n+1} = F_{n}AFn+1=FnA

所以：
Fn=F1An−1F_{n} = F_{1}A^{n-1}Fn=F1An−1

时间复杂度：快速幂的时间复杂度是 O(logn)O(logn)O(logn)，所以本算法的时间复杂度也是O(logn)O(logn)O(logn)。

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3;
typedef long long LL;int n, m;void mul(int c[], int a[], int b[][N]){int temp[N] = {0};for(int i = 0; i < N; i++)for(int j = 0; j < N; j++)temp[i] =  (temp[i]  + (LL) a[j] * b[j][i]) % m;memcpy(c, temp, sizeof temp);
}void mul(int c[][N], int a[][N], int b[][N]){int temp[N][N] = {0};for(int i = 0; i< N; i ++)for(int j = 0; j<N; j++)for(int k = 0; k<N; k++)temp[i][j]  =  (temp[i][j] + (LL) a[i][k] * b[k][j] ) % m;memcpy(c, temp, sizeof temp);
}int main(){cin >> n >> m;int f1[N] = {1, 1, 1};//f1, f2, s1int a[N][N] = {{0, 1, 0},{1, 1, 1},{0, 0, 1}};// f1 * a^(n-1)n --; // n变成n-1while(n){if( n & 1) mul(f1, f1, a); // f1 = f1 * a;mul(a, a, a); // a = a * a;n >>= 1; // n /= 2;}cout << f1[2] << endl;}

题目来源

https://www.acwing.com/problem/content/1305/