第12讲：导数的基本运算法则与高阶导数

例题与练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：用反函数求导法则求下列函数的导数.

(1)；

(2)；

(3).

练习2：求下列函数的导数.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7).

练习3：求下列函数的导数.

(1)；

(2)；

(3).

练习4：求下列函数的n阶导数.

(1)；

(2)；

(3).

练习5：求下列函数指定阶的导数.

(1)( 二阶可导)，求 ；

(2)，求 ；

(3)，求 ；

(4)，求 .

练习6：设 ，试证：

其中 ，并求 .

练习7：求 ，其中

练习8：求 ， 其中

练习9：设 ，求使得 存在的最高阶数 的值.

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：用反函数求导法则求下列函数的导数.

(1)；

(2)；

(3).

【参考解答】：(1) 【思路一】函数 的反函数为 ，故由反函数求导公式，得

即

【思路二】改写函数表达式为 ，则由复合函数求导法则，得

【思路三】由导数的定义，求极限得

(2)函数 的反函数为

则 ，故由反函数求导公式，得

即 .

(3)函数 的反函数为

故由反函数求导公式，得

即 .

练习2：求下列函数的导数.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7).

【参考解答】：(1)令 ，则 , . 直接由复合函数求导公式，得

(2)由 ，令 ，则 , . 直接由复合函数求导公式，得

(3)令 , , ，则

直接由复合函数求导公式，得

回代 , , , 得最终的导数结果为

(4)令 , ，则

直接由复合函数求导公式，得

(5)令 , ，则 ，直接由复合函数求导公式，得

【注】：注意右侧三个 的意义不同，它们从左到右依次表示关于 ，即整个 表达式求导；关于 ，即 整个表达式求导和关于 变量求导.

(6)由于 ，令 ，则直接由复合函数求导公式，得

【注】：该结论可以直接当公式使用，适用于幂指函数结构的函数导数计算. 如

等导数的计算. 其结果可以视为先将函数视为指数复合函数求导(即底数 视为常数)，再将其视为幂函数复合函数求导得到(即指数 视为常数).

(7)基于(5)的解题思路，函数可以改写为

利用对数函数的性质，有

由 ，且

代入得

练习3：求下列函数的导数.

(1)；

(2)；

(3).

【参考解答】：对于包含有四则运算和复合结构的函数的导数，先四则运算，再复合运算，能够化简的先化简表达式.

(1)由分母有理化，分母乘以分子，得

故由求导的减法和复合函数求导法则，得

(2)由求导的加法法则，得

其中三个函数的导数分别为

将以上结果代入，得

(3)先由乘法法则，得

再由复合函数求导法则，得

代入得

练习4：求下列函数的 阶导数.

(1)；

(2)；

(3).

【参考解答】：(1)依次求各阶导数递推，得

以此递推可得

【注】：由以上结论可得

n} \right) \cr} " data-formula-type="block-equation" >

当 为任意常数，也可以推得如下结论

进而可以推导得到

(2)依次求各阶导数递推，得

以此类推可得

【注】：由此也可以直接推得

(3)依次求各阶导数递推，得

以此类推可得

【注】：其中 是函数对 求导，它与 不同，应用过程中注意符号的差别！

练习5：求下列函数指定阶的导数.

(1)( 二阶可导)，求 ；

(2)，求 ；

(3)，求 ；

(4)，求 .

【参考解答】：(1)直接应用乘法法则和复合函数求导法则，逐阶求导，得

继续应用加法、乘法和复合函数求导法则，得

【注】：对于抽象函数求导数，如果所有各阶导数的复合结构里面表达式一致，则最终结果一般可以直接函数符号，不带复合结构. 比如以上最终结果中的各阶导数描述 ，分别表示

从而达到简化最终描述的目的.

(2)令 , ，则

故由莱布尼兹公式，得

(3) 【思路一】逐阶求导递推，有

归纳可得

【思路二】由莱布尼兹公式和之前的结果

直接代入公式，得

(4)改写函数表达式，分解部分分式，得

故由上面所得的公式

基于求导的加法法则，得

后两项的一般求导公式为

故当 时，由

【注】：关于有理式的部分分式分解可以参见推文：

练习6：设 ，试证：

其中 ，并求 .

【参考解答】：由于 ，改写得

于是由莱布尼兹公式，两端求 阶导数，得

对于前面一项，有

展开求和式，得

即所需验证的等式成立. 令 ，得

容易计算得到 , ，且

因此，由(*)可以推得

其中 .

练习7：求 ，其中

【参考解答】：【思路一】利用求导法则，将函数拆分为两部分

其中 ，则

代入 ，得

【思路二】利用导数的定义，得

练习8：求 ， 其中

【参考解答】：改写函数表达式，得

则由莱布尼兹公式，可知

其中 的每一项都包含有 因式，故代入 ，得 . 故得

练习9：设 ，求使得 存在的最高阶数 的值.

【参考解答】：将函数写成分段函数表达式，得

于是有左右导数的定义，得

又在定义区间内

所以一阶导函数为

对 应用以上步骤，得

又在定义区间内

所以二阶导函数为

从而再次由左右导数的定义，得

故 不存在，即使得 存在的最高阶数 的值为 .