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泰勒公式及其用典型例题
?? 泰勒公式及其应用
常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙(尤其当较大时)，从下图可看出。
上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：
1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。
2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。
将上述两个想法作进一步地数学化：
对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。
【问题一】
设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的??次多项式
近似?
【问题二】
若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?
一、【求解问题一】
问题一的求解就是确定多项式的系数。
?
?
?
?
……………
上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：
于是， 所求的多项式为：
?(2)
二、【解决问题二】
泰勒(Tayler)中值定理
若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成
这里是与之间的某个值。
先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：
??
这表明：
只要对函数??及?在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。
【证明】
以与为端点的区间或记为?，?。
函数??在上具有直至??阶的导数，
且??
函数??在上有直至阶的非零导数，
且??
于是，对函数??及??在上反复使用??次柯西中值定理， 有
三、几个概念
1、
此式称为函数按的幂次展开到?阶的泰勒公式；
或者称之为函数在点??处的??阶泰勒展开式。
当??时， 泰勒公式变为
这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。
?为拉格朗日余项。
2、对固定的，若?
有??
此式可用作误差界的估计。
故??
表明： 误差是当?时较??高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。
3、若，则在??与?之间，它表示成形式???，
泰勒公式有较简单的形式 ——?麦克劳林公式
?
近似公式
误差估计式
【例1】求的麦克劳林公式。
解：?
，
?于是??
有近似公式????
其误差的界为??
我们有函数?的一些近似表达式。
(1)、????(2)、??(3)、
在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。
【例2】求??的?阶麦克劳林公式。
解：
它们的值依次取四个数值?。
其中：???
同样，我们也可给出曲线??的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。
???????????
【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。
解：
?????
于是：?
利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”，?使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。
【例4】利用泰勒展开式再求极限?。
解：，???
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为，从而
当时，，应为??
【例5】利用三阶泰勒公式求?的近似值， 并估计误差。
解：
故：
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