HHL算法

背景

求解线性方程是一个基本的数学问题。2008年，Harrow、HassidimHarrow、HassidimHarrow、Hassidim和LloydLloydLloyd三位学者提出了一种可以在O(log2N)O(log_2N)O(log2N)时间复杂度内求解线性方程组的量子算法，称其为HHLHHLHHL算法。HHLHHLHHL算法能应用于机器学习的K−meansK-meansK−means聚类、支持向量机和数据拟合等方面，达到算法加速的目的。

基本假设

HHLHHLHHL算法是一个用量子计算机解决线性问题Ax=bAx=bAx=b最优解的算法
1.态∣b⟩|b\rangle∣b⟩容易制备；
2.AAA是nnn阶厄米矩阵；
3.求解是稀疏的；
4.输入：一个n×nn\times nn×n的矩阵和一个nnn维向量bbb，
输出：nnn维向量xxx，满足Ax=bAx=bAx=b.
5.令v1,v2,⋯,vnv_1,v_2,\cdots,v_nv1,v2,⋯,vn和λ1,λ2,…,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_nλ1,λ2,…,λn分别是AAA的特征向量和对应的特征值。

HHLHHLHHL算法可以分为三个步骤：

制备过程

第一步：(初始化)高效制备工作系统初态∣b⟩|b\rangle∣b⟩和辅助系统初态∣Φ0⟩|\Phi_0\rangle∣Φ0⟩。
第二步：利用∣Φ0⟩|\Phi_0\rangle∣Φ0⟩控制的酉算符UUU在∣b⟩|b\rangle∣b⟩上执行相位估计，即对∣b⟩|b\rangle∣b⟩中的每一位作HHH变换：得到∑i=1Nβi∣vi⟩∣λi⟩\sum\limits_{i=1}^{N}\beta_i|v_i\rangle|\lambda_i\ranglei=1∑Nβi∣vi⟩∣λi⟩(忽略归一化系数)。∣b⟩|b\rangle∣b⟩被分解为AAA的本征基矢的线性组合，表示为∣b⟩=∑i=1Nβi∣vi⟩|b\rangle=\sum\limits_{i=1}^{N}\beta_i|v_i\rangle∣b⟩=i=1∑Nβi∣vi⟩
第三步：在整个量子系统再加一个辅助比特并在辅助比特上进行∣λi⟩|\lambda_i\rangle∣λi⟩控制的旋转操作，即应用受控UUU变换得到新的量子比特∑i=1Nβi∣vi⟩∣λi⟩(1λi∣0⟩+1−1λi2∣1⟩)\sum\limits_{i=1}^{N}\beta_i|v_i\rangle|\lambda_i\rangle(\frac{1}{\lambda_i}|0\rangle+\sqrt{1-\frac{1}{\lambda_i^2}}|1\rangle)i=1∑Nβi∣vi⟩∣λi⟩(λi1∣0⟩+1−λi21∣1⟩)
第四步：通过相位估计的逆变换(逆FourierFourierFourier变换)将∣λi⟩|\lambda_i\rangle∣λi⟩态变为∣Φ0⟩∣b⟩|\Phi_0\rangle|b\rangle∣Φ0⟩∣b⟩.
第五步：不断放大∣0⟩|0\rangle∣0⟩部分，当观测到辅助比特处于∣0⟩|0\rangle∣0⟩时，算法成功，此时系统对应的输出态是∑i=1Nβi1λi∣vi⟩=∣x⟩\sum\limits_{i=1}^{N}\beta_i\frac{1}{\lambda_i}|v_i\rangle=|x\ranglei=1∑Nβiλi1∣vi⟩=∣x⟩，态矢量就是线性方程组Ax=bAx=bAx=b的解xxx。

量子计算算法的一般步骤

设：f:{0,1}n→{0,1}mf:\{0,1\}^n\to\{0,1\}^mf:{0,1}n→{0,1}m，量子算法一般分三个步骤：
第一步：利用全000的nnn维向量产生一个状态叠合：
A=12n∑x=02n−1∣x,0m⟩A=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}|x,0^m\rangle A=2n1x=0∑2n−1∣x,0m⟩
第二步：以该状态叠合AAA为输入，利用量子计算机一次完成对f(x)f(x)f(x)的全部输出的并行计算问题，得到向量：
F(A)=12n∑x=02n−1∣x,f(x)⟩F(A)=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}|x,f(x)\rangle F(A)=2n1x=0∑2n−1∣x,f(x)⟩
第三步：数据加工。利用多项式时间的量子变换，对量子向量F(A)F(A)F(A)进行变换，以保证所需结果能以很高的概率观察出来。
第四步：“观察”和判断。“观察”实际的结果，并利用观察结果完成给定的任务。

设计量子算法的方法学

设计量子算法的关键在于：要保证算法的每个步骤符合量子力学的要求, 并最终保证其求解速度比经典算法更快, 发挥量子计算并行性快速解决的问题的优势.
一个量子算法大致可以分为三个阶段：
1.制备一个叠加态, 它表示函数自变量值的线性组合；
2.作用P(f)P(f)P(f)(函数fff所对应的线性算子(矩阵))，根据线性特点，它会分别作用在每一个基态上，把函数对每一个自变量的值计算出来，即体现潜在的并行性；
3.提取想要的信息. 通过巧妙的设计, 利用干涉现象使得系统最后状态能以很大的概率落到目标点∣P(f)⟩|P(f)\rangle∣P(f)⟩。算法设计的巧妙性就体现在这一步。

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