实验名称: 单源最短路径问题

实验地点：

实验目的：

1、  理解分支限界法的剪枝搜索策略；

2、  掌握分支限界法的算法柜架；

3、  掌握分支限界法的算法步骤；

4、  通过应用范例学习动态规划算法的设计技巧与策略；

实验原理

1. 基本思想

分支是使用广度优先策略，依次生成扩展结点的所有分支。

限界是在结点扩展过程中，计算结点的上界，搜索的同时剪掉某些分支。

分支限界法就是把问题的可行解展开，再由各个分支寻找最佳解。

与回溯法类似，分支限界法也是在解空间中搜索得到解；

不同的是，分支限界法会生成所有扩展结点，并舍弃不可能通向最优解的结点，然后根据广度优先/最小耗费优先，从活结点中选择一个作为扩展结点，使搜索向解空间上有最优解的分支推进。

2. 搜索策略

分支限界法首先生成当前扩展结点的所有分支，然后再从所有活结点中选择一个作为扩展结点。每一个活结点都要计算限界，根据限界情况判断是否剪枝，或选择最有利的结点。

实验内容：

1、使用分支限界法解决单源最短路径问题。

2、通过上机实验进行算法实现。

3、保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析，上交实验报告。

源程序：

方法一：

//单源最短路径class Graph{  //带权有向图
private:int n;          //顶点个数int **c;      //邻接矩阵int *dist;        //记录路径
public:void shortestPaths(int);Graph();         //根据情况构造图
};class MinHeapNode{        //最小堆的结点friend Graph;
private:int i;              //结点对应的顶点编号int length;          //结点记录的最短路径
public:int getI(){ return i; }void setI(int i){ this->i = i; }int getLength(){ return length; }void setLength(int length){ this->length = length; }
};class MinHeap{        //最小堆(虽然叫堆，但其实并不是用堆实现的)friend Graph;
private:int length;         //最小堆的长度，等同于顶点个数MinHeapNode *nodes;      //结点数组
public:MinHeap(int n){this->length = n;nodes = new MinHeapNode[n];}void deleteMin(MinHeapNode&);   //令当前节点出队列，并给出下一个扩展结点void insertNode(MinHeapNode N)      //结点入队列，将原结点的内容替换即可{nodes[N.getI()].setI(N.getI());nodes[N.getI()].setLength(N.getLength());}bool outOfBounds()      //检查队列为空{for(int i = 0;i < length;i++)if(nodes[i].getI() != -1)return false;return true;}
};void MinHeap::deleteMin(MinHeapNode &E)
{int j = E.getI();nodes[j].setI(-1);nodes[j].setLength(-1);        //标记为出队列int tmp = INT_MAX;for(int i = 0;i < length;i++){     //给出路径最短的结点作为扩展结点if(nodes[i].getI() != -1 && nodes[i].getLength() < tmp){E.setI(i);E.setLength(nodes[i].getLength());tmp = nodes[i].getLength();}}
}void Graph::shortestPaths(int start)
{MinHeap heap = MinHeap(n);    MinHeapNode E = MinHeapNode();     //别问，一开始还加了new，太久不写C++了E.i = start;    E.length = 0;dist[start] = 0; //初始为源点V,对应编号startwhile(true){for(int j = 0;j < n;j++){   //检查所有邻接顶点if(c[E.i][j] != 0){      //是否邻接if(E.length + c[E.i][j] < dist[j]){       //是否满足限界，当前路径小于记录的最短路径dist[j] = E.length + c[E.i][j];      //更新if(/*填入判断表达式*/){          //没有邻接顶点的点不入队，按情况调整，没有也可以，但会造成无效开销MinHeapNode N = MinHeapNode();    //创建一个新的结点，并令其入队列N.i = j;N.length = dist[j];heap.insertNode(N);}}}}if(heap.outOfBounds())  //队列为空，结束break;heap.deleteMin(E);    //该结点已经生成全部分支，出队列并取得下一扩展结点}
}

方法二：

#include <iostream>
#include<queue>
using namespace std;typedef struct ArcCell{int adj;//保存权值int info;//存储最短路径长度
}ArcCell,AdjMaxtrix[100][100];typedef struct{int data;int length;
}VerType;typedef struct{VerType vexs[100];//顶点向量AdjMaxtrix arcs;int vexnum;//顶点数int arcnum;//弧数
}Graph;Graph G;
queue<int> q;void CreateGraph()
{int m,n,t;printf("输入顶点数和弧数:");scanf("%d%d",&G.vexnum,&G.arcnum);printf("输入顶点:");for(int i=1;i<=G.vexnum;i++){scanf("%d",&G.vexs[i].data);G.vexs[i].length=10000;}for(int i=1;i<=G.vexnum;i++)for(int j=1;j<=G.vexnum;j++){G.arcs[i][j].adj=0;}printf("输入弧及权重:\n");for(int i=1;i<=G.arcnum;i++){scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);G.arcs[m][n].adj=1;G.arcs[m][n].info=t;}}int NextAdj(int v,int w)
{for(int i=w+1;i<=G.vexnum;i++)if(G.arcs[v][i].adj)return i;return 0;//not found;
}void ShortestPaths(int v)
{int k=0;//从首个节点开始访问int t;G.vexs[v].length=0;q.push(G.vexs[v].data);while(!q.empty()){t=q.front();k=NextAdj(t,k);while(k!=0){if(G.vexs[t].length+G.arcs[t][k].info<=G.vexs[k].length)//减枝操作{G.vexs[k].length=G.vexs[t].length+G.arcs[t][k].info;q.push(G.vexs[k].data);}k=NextAdj(t,k);}q.pop();}
}void Print()
{for(int i=1;i<=G.vexnum;i++)printf("%d------%d\n",G.vexs[i].data,G.vexs[i].length);
}int main()
{CreateGraph();ShortestPaths(1);Print();return 0;
}

方法三：

#include <iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;typedef struct ArcCell{int u;//保存权值int info;//存储最短路径长度ArcCell(int a,int b):u(a),info(b){}
}ArcCell,AdjMaxtrix[100][100];typedef struct{int data;int length;
}VerType;typedef struct{VerType vexs[100];//顶点向量vector<ArcCell>arcs[1001];int vexnum;//顶点数int arcnum;//弧数
}Graph;Graph G;
queue<int> q;void CreateGraph()
{int m,n,t;printf("输入顶点数和弧数:");scanf("%d%d",&G.vexnum,&G.arcnum);printf("输入顶点:");for(int i=1;i<=G.vexnum;i++){scanf("%d",&G.vexs[i].data);G.vexs[i].length=10000;}printf("输入弧及权重:\n");for(int i=1;i<=G.arcnum;i++){scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);G.arcs[m].push_back({n,t});}}void ShortestPaths(int v)
{int k=0;//从首个节点开始访问int t;G.vexs[v].length=0;q.push(G.vexs[v].data);while(!q.empty()){t=q.front();for(int i=0,j=G.arcs[t].size(); i<j; i++){k=G.arcs[t][i].u; printf("%d------%d\n",t,k);if(G.vexs[t].length+G.arcs[t][i].info<=G.vexs[k].length)//减枝操作{G.vexs[k].length=G.vexs[t].length+G.arcs[t][i].info;q.push(G.vexs[k].data);}}q.pop();}
}void Print()
{for(int i=1;i<=G.vexnum;i++)printf("%d------%d\n",G.vexs[i].data,G.vexs[i].length);
}int main()
{CreateGraph();ShortestPaths(1);Print();return 0;
}

实验结果：

心得与体会：

算法分析：

生成根节点的所有分支，全部入队列并记录路径；

在队列中选择路径最短的分支作为扩展结点

逐个生成分支，并判断分支的路径是否小于记录的最短路径；

若不小于，舍弃该分支；

若小于，该分支入队列；

生成所有分支后，回到2；

当队列为空时，算法结束。

体会：

1、  理解分支限界法的剪枝搜索策略；

2、  掌握分支限界法的算法柜架；

3、  掌握分支限界法的算法步骤；

4、  通过应用范例学习动态规划算法的设计技巧与策略；

5、  使用分支限界法解决单源最短路径问题。