高等数学：第五章 定积分（1） 定积分的概念
§5.1 定积分的概念
一、从阿基米德的穷竭法谈起
【引例】从曲线
与直线
，
，
所围图形的面积
。
如图：在区间 
上插入 
个等分点 
，得曲线上点 
，过这些点分别向
轴，
轴引垂线，得到阶梯形。它们的面积分别为：
故可得到面积值为 
为了便于理解阿基米德的思想，我们先引入曲边梯形的概念。
所谓曲边梯形是指这样的图形，它有三条边是直线段，其中两条是平行的，第三条与前两条垂直叫做底边，第四条边是一条曲线弧叫做曲边，这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点。
根据这一定义，引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m，可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。
二、曲边梯形的面积计算
设连续函数
，求由曲边
，直线
，
及 轴所围成的曲边梯形的面积。
如图，在区间
上任意地插入
个分点
区间分划成 
个小区间 
，且记小区间的长度为
过每个分点作平行于轴的直线段，这些直线段将曲边梯形分划成个窄小的曲边梯形，用
记第 
个窄小的曲边梯形的面积。
(由于曲边梯形的高在上是连续变化的，在很短小的一段区间上它的变化也很小，即可近似地视为不变。因此，在每个小区间上，可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高，用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积。)
具体地
对第 个窄小曲边梯形，在其对应区间上任意地取一点
，以
作为近似高，以矩形面积
近似。
即 
于是，
很明显地
小区间
的长度
越小，
近似程度就越好；要使得
近似程度越好，只需
都越来越小。因此，为了得到面积的精确值，我们只需将区间
无限地细分，使得每个小区间的长度都趋向于零。
若记 
，则每个小区间的长度趋向于零价于 
。
从而 
(1)
三、变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度
是时间间隔
上的连续函数，且
，求物体在时间间隔内所经过的路程。
在时间间隔内任意地插入个分点
将分划成个时间区间
各时间区间的长度依次为
记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为
在时间间隔
， 物体所经过的路程
的近似值为
即：将物体在上的速度视为不变的，以
来近似代替。很自然地，当这一时间间隔段很短时，这种近似是合理的。
于是可给出
的近似值 
为得到的精确值， 只需让每个小时间间隔段的长度
均趋向于零。
若记 
则 
(2)
上述两例， 尽管其实际意义不同， 但有两点是一致的。
1、曲边梯形的面积值由高及的变化区间
来决定；
变速直线运动的路程由速度及
的变化区间来决定。
2、计算与的方法、步骤相同，且均归结到一种结构完全相同的和式极限。
抛开这些问题的具体实际意义， 抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括， 我们可给出定积分概念。
四、定积分的定义
设函数
在上有界， 在中任意插入个分点
把区间分划成 个小区间
各区间的长度依次为
在每个小区间
上任取一点 
，
作函数值与小区间长度的乘积 
作和式 
记
若不论对区间上怎样的分法，
也不论对小区间上的点
怎样的取法，
只要当时， 和总趋向于确定的值
，
我们称这个极限值为函数在区间
上的定积分。
记作 
即 
其中叫做被积函数；
叫做被积表达式；
叫做积分变量； 叫做积分区间；
叫做积分下限； 
叫做积分上限；
叫做在上的积分和式。
如果在上的定积分存在，我们就说在上可积。
对定积分的定义， 我们给出两点重要的注解：
1、定积分的几何意义
在上，
时，
表示由曲线，直线、与轴所围成的曲边梯形的面积。
在上，
时，
表示该曲边梯形面积的负值。
因此，定积分是一个数值。
2、定积分与积分变量无关
由定积分的几何意义可知：
定积分与被积函数及积分区间有关。
如果既不改变被积函数
，也不改变积分区间 ，而只是将变量改写成其它字母，如或
，这时定积分的值仍不变。即有
五、定积分的存在定理
【定理一】设在区间上连续， 则在上可积。
【定理二】设在区间上有界， 且只有有限个间断点， 则在上可积。
六、用定义求定积分的典型例子
【例1】 求 
解：
是连续的，故
存在。
为便于计算， 将区间上分划成等分 ， 即取分点为
这样，小区间
的长度为 
，再取 
积分和式为
将表达式
写成一个紧凑的形式：
从而
此例告诉我们这样的信息：
- 用定积分定义来计算定积分的确不方便，有必要寻找简捷而有效的计算方法；
，也反映了定积分几何意义的正确性。
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