什么是微分，dy又是什么

1.dy的定义

在介绍什么是dy之前，先回顾一下之前的一些概念：
设，y=f(x)y=f(x)y=f(x),
若:lim⁡Δx→0Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=0\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=f(x_0+\Delta x )-f(x_0)=0Δx→0limΔy=f(x0+Δx)−f(x0)=0
则：函数在x0x_0x0处连续，
若：lim⁡Δx→0ΔyΔx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}Δx→0limΔxΔy存在，则函数在x0x_0x0处可导。

考虑下面这种情况，

在更一般的情况下，也是这样，在x0x_0x0处，我们定义如下：
若Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)Δy=AΔx+o(Δx),其中A是与Δx\Delta xΔx无关的常数，则称f（x）在x0x_0x0处可微，AΔxA\Delta xAΔx称为函数在x0x_0x0处的微分。记作dy=AΔxdy=A\Delta xdy=AΔx

其实，我们从上面的图里面也可以看到，AΔxA\Delta xAΔx也就是图中画阴影的部分，已经相当接近Δy\Delta yΔy了

2.可微与可导的关系

我自第一次学这门课到现在，一直知道对于一元函数来讲，可微与可导是一样的。
可导的定义我们非常熟悉，可微的概念我们也介绍了，下面我们推导一下，这两者究竟有什么关系

因此，我们发现了，可微与可导是等价的，且可微定义里面的这个常数A其实就是在那个点的导数f′(x0)f\prime(x_0)f′(x0)。

3.dy的几何意义

如上图。请务必记住下面这句话：

Δy\Delta yΔy是函数y在x0x_0x0处的增量
dydydy是函数y在x0x_0x0处沿着切线的增量

这种思想我们以后也会经常遇到，在一个点的局部拿切线去近似这个曲线。

4.微分的运算法则

5.dy再探索

若函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x=x0x_0x0处可微，则有dy=f′(x0)Δxdy=f\prime(x_0)\Delta xdy=f′(x0)Δx

看下式lim⁡Δx→0Δydy=lim⁡Δx→0Δyf′(x0)Δx=lim⁡Δx→0f′(x0)f′(x0)=1\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{dy}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta y}{f\prime(x_0)\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac {f\prime(x_0)}{f\prime(x_0)}=1Δx→0limdyΔy=Δx→0limf′(x0)ΔxΔy=Δx→0limf′(x0)f′(x0)=1

我们都知道，Δy\Delta yΔy与dy都是当Δx\Delta xΔx趋于0时的无穷小，由上式可以看出两者是等价无穷小。
此时我们再看导数除了定义的另一种表达：dydx=f′(x)\frac{dy}{dx}=f\prime(x)dxdy=f′(x)
由此式可以看出，导数是两个微分的商，因此，导数又称微商

6.线性近似

由第五节的推导可以看出，在Δx\Delta xΔx趋于0时，dy≈Δydy \approx \Delta ydy≈Δy
即：f′(x0)Δx=f(x0+Δx)−f(x0)f\prime(x_0)\Delta x=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)f′(x0)Δx=f(x0+Δx)−f(x0)
令x=x0+Δxx=x_0+\Delta xx=x0+Δx,也即：f′(x0)(x−x0)=f(x)−f(x0)f\prime(x_0)(x-x_0)=f(x)-f(x_0)f′(x0)(x−x0)=f(x)−f(x0)
移项得：f′(x0)(x−x0)+f(x0)=f(x)f\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=f(x)f′(x0)(x−x0)+f(x0)=f(x)
由此我们引入了几个常用的线性近似（通常在x=0时）。

为上一句的“由此”注解，其实我们也可以由导数的定义得到此近似
lim⁡x→x0=f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f\prime(x_0)x→x0lim=x−x0f(x)−f(x0)=f′(x0)
移项得f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)f(x)\approx f(x_0)+f\prime (x_0)(x-x_0)f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)

在x0=0x_0=0x0=0附近，有下列式子：
1+xn≈1+1nx\sqrt[n]{1+x}\approx1+\frac{1}{n}xn1+x≈1+n1x
sin⁡(x)≈x\sin(x)\approx xsin(x)≈x
tan⁡(x)≈x\tan(x)\approx xtan(x)≈x
ex≈x+1e^x\approx x+1ex≈x+1
ln(1+x)≈xln(1+x)\approx xln(1+x)≈x

注意区分上述式子与等价无穷小的区别，如ex≈x+1e^x\approx x+1ex≈x+1在x=0处便不是无穷小量。

本文到此结束，感谢读者耐心读完。