什么是微分?导数和微分的区别是什么?微分和积分的联系?
看之前推荐您阔以拿一只笔和一张纸,遇到看不懂的就画一画,增量啊什么的,会好理解很多。
先总的抽象地说一下微分是什么,假设有一个函数y=f(x)。假设y轴上有一个增量,把这个增量叫做Δy。字面上理解,什么是增量?就是增大的量,那么可以这么用式子表示,Δy = f(x+Δx) - f(x),Δx是一个x轴上的相对于x的增量。当Δx无限接近于0的时候,Δy就是微分,记为dy。为什么当Δx无限接近于0的时候,这个增量就是微分呢?继续往下看,图1部分有解释。
导数的定义式子:f '(x0) = ;,,,这里前面写错了,是delta y/delta x
导数表示函数某一点的斜率,上面的定义式子表示的就是导数在x0点的斜率,
微分是什么?微分数学上用dy 来表示。
结合下列式子和高中知识认真研究 图1,看明白了 也就知道微分时啥了。
f '(x0) =
= f(x0+)-f(x0)
微分定义式子:dy=f '(x0) * ;
就是dx,他们是一个意思,但是dy不是,从图中就能看出来dy不是,dy是微分,从图中可见也就是切线的增量,则是原函数的增量。但是当x->0的时候 dy=,这个很好理解,仔细想一想当x->0的时候,和dy的差距不救也趋于0了么。另外特殊的有,当原函数f(x)是一次线性函数的时候dy=。
总结:导数和微分完全是两个东西,导数用来表示f(x)在某点的斜率,而微分表示的是在切线上的增量,也就是图中的dy那一部分。这么一看感觉还是有点模糊,但其实,还是要放到的环境下来看,我们研究微分不就是么,图是将放大了看的结果。当时,dy==函数的x从x0增加到x0+时对应的增量。
微分和积分的关系:
结合积分,积分和微分是一个互逆的运算,假设 , f'(x)dx就是微分dy(看上头的图,斜率乘dx就是dy), 那么变成 ,微分号和积分号抵消,也就是对原函数微分一下,再积分一下,那么上式变成y=f(x),也就是变回了原函数,说明微分和积分是互逆的运算。
还是觉得模糊,那么就这么理解,积分反映的是求和,离散状态下,积分就是求和。工程上用到积分的时候,就是将变量求和。
微分反应的是增加的量,工程上用到微分的时候,也即后一时刻和前一时刻的变化率(变化率不是斜率!只是因为知道增减的值,所以反映了前后时刻的变化的大小)。
最后丢几个概念:若是的线性函数即可微
在x0上,可微必可导,可导必可微
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