微分定义

自变量在点 xxx 处的改变量 Δx\Delta xΔx 函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的相应改变量 Δy\Delta yΔy可以表示为
Δy=AΔx+o(Δx)(Δx→0)\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\rightarrow 0) Δy=AΔx+o(Δx)(Δx→0)
AΔxA\Delta xAΔx 为 Δy\Delta yΔy 的线性主部，即为函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点 xxx 处的微分，记作：
dy=AΔx=f′(x)dxdy=A\Delta x=f'(x)dx dy=AΔx=f′(x)dx

微分dy与改变量Δy的关系

当 Δx→0\Delta x \rightarrow 0Δx→0 时，自变量改变量Δx\Delta xΔx、微分Δy\Delta yΔy、函数改变量dydydy 有下述关系

一、当 Δx→0\Delta x \rightarrow 0Δx→0 时，Δy−dy\Delta y - dyΔy−dy 是一个比 Δx\Delta xΔx 高阶的无穷小量

意思是：Δy−dy\Delta y - dyΔy−dy 【M’T】趋于0的速度 >>> Δx\Delta xΔx【MN】趋于0的速度
即分子趋于0的速度大于分母趋于0的速度
lim⁡Δx→0Δy−dyΔx=lim⁡Δx→0Δy−AΔxΔx=0\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y - A\Delta x}{\Delta x}=0 Δx→0limΔxΔy−dy=Δx→0limΔxΔy−AΔx=0

二、当 A=f′(x)≠0A=f'(x)\neq0A=f′(x)=0 时，微分dydydy 与函数改变量 Δy\Delta yΔy 的差是一个比 Δy\Delta yΔy 高阶的无穷小量

意思是：Δy−dy\Delta y - dyΔy−dy 【M’T】趋于0的速度 >>> Δy\Delta yΔy【M’N】趋于0的速度
即分子趋于0的速度大于分母趋于0的速度
lim⁡Δx→0Δy−dyΔy=lim⁡Δx→0o(Δx)AΔx+o(Δx)=lim⁡Δx→01A[Δx/o(Δx)]+1=0\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y - dy}{\Delta y}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{o(\Delta x)}{A\Delta x+o(\Delta x)}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{A[\Delta x/o(\Delta x)]+1}=0 Δx→0limΔyΔy−dy=Δx→0limAΔx+o(Δx)o(Δx)=Δx→0limA[Δx/o(Δx)]+11=0

三、当 A=f′(x)≠0A=f'(x)\neq0A=f′(x)=0 时，dy=AΔxdy=A\Delta xdy=AΔx 与 Δy\Delta yΔy 是等价无穷小量

意思是：dydydy 【TN】趋于0的速度 === Δy\Delta yΔy【M’N】趋于0的速度
即分子趋于0的速度 === 分母趋于0的速度
lim⁡Δx→0Δydy=lim⁡Δx→0AΔx+o(Δx)AΔx=1+0=1\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{dy}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{A\Delta x+o(\Delta x)}{A\Delta x}=1+0=1 Δx→0limdyΔy=Δx→0limAΔxAΔx+o(Δx)=1+0=1

四、当 A=f′(x)≠0A=f'(x)\neq0A=f′(x)=0 时，dy=AΔxdy=A\Delta xdy=AΔx 与 Δx\Delta xΔx 是同阶无穷小量

意思是：dydydy 【TN】趋于0的速度是 Δx\Delta xΔx【MN】趋于0的速度的A倍
即分子趋于0的速度 === A×分母趋于0的速度
lim⁡Δx→0dyΔx=lim⁡Δx→0AΔxΔx=A≠0\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{dy}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{A\Delta x}{\Delta x}=A\neq 0 Δx→0limΔxdy=Δx→0limΔxAΔx=A=0

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